Kegel mit Wasser befüllen und Höhenformel bekommen

Question

Ein auf der Spitze stehender Kegel mit r=10cm, h=30cm, 30cm^3/Sekunde Befüllung ist gegeben. Das Volumen V(t) und die Höhe h(t) des Wasserspiegels hängen also von t (in s) ab. Da diese Aufgabe im Themenbereich Kettenregel ist, muss man wahrscheinlich irgendwie h(t) und V(t) verketten. Aber wie?

Comments

Was willst du wissen ?

- Volumen als Funktion der Zeit V ( t ) = ...

- Höhe ( Wasserstand ) als Funktion der Zeit
h ( t ) = ...

2 Funktionen ?

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höhe (wasserstand)

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Vom Duplikat:

Titel: Wasserspiegel-Anstieg-Geschwindigkeit im Kegel bei einem bestimmten Zeitpunkt

Stichworte: geschwindigkeit,funktionen,zeit,kegel,wasser,höhe

Ein auf der Spitze stehender Kegel mit r=10cm, h=30cm, 30cm3/Sekunde Befüllung ist gegeben. Wie berechnet man z.B. wie schnell (Geschwindigkeit) der Wasserspiegel nach 2 min steigt?

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Da der Kegel bereits bei 2 Minuten am überlaufen ist gilt für die Änderungsrate der Wasserhöhe 0 cm/s.

Answer 1

Du könntest die Beziehungen

$$ \dfrac{r(t)}{h(t)} = \dfrac{10}{30} $$und

$$V(t) = 30 \cdot t$$nutzen, um aus der Volumengleichung

$$ V(t) = \dfrac 13 \cdot \pi \cdot \left(r(t)\right)^2 \cdot h(t) $$\(h(t)\) zu gewinnen.

PS: In der letzten Zeile fehlte das \(\pi\); ich habe es nun eingefügt.

Comments

Ich muss doch für r(t) und V(t) diese Beziehungen einsetzen. Aber das h(t) ist doch dann schon als die Gesamthöhe 30cm gegeben? Oder ist das h(t) in der V(t)-Gleichung schon die Füllhohe?

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So ist es!

                   

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Ok und wieso ist V(t)= 30 *t

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>  30cm³/Sekunde Befüllung ist gegeben.

[ V in cm³ , t in Sekunden ]

→  V(t) = 30 * t          

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So, ich habe oben noch das fehlende Pi eingefügt.

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Stimmt also diese Formel?

h(t) = [3. Wurzel von] 810t/pi

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Ja, sie ist richtig.                     

Answer 2

Hier meine Berechnungen

h ( t ) = 3 √ ( 810 / π * t )

Und den Graph dazu

Comments

Wie kommt dieses pi in A(x) zusatnde?

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Ich hab nämlich ein Ergebnis ohne pi .

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f ( x ) ist der Funktionswert an der Stelle x
und entspricht dem Radius des Kegels.
f ( 30 )= 10
Die Fläche an dieser Stelle ist
r^2 * PI oder
[ f ( x ) ]^2 * PI

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Da du in der Folgefrage nach der
Änderungsrate / Geschindigkeit
gefragt hast.

h ( t ) = ³ √ ( 810 / π * t )
h ( t ) = ( 810 / π * t )^{1/3}
1.Ableitung
h ´( t ) = 1/ 3 * ( 810 / π * t )^{-2/3} * ( 810/π )

Answer 3

Mit Strahlensatz bekommt man 10 / 30 = r(t) / h(t) für den Radius r(t) in der Höhe h(t), also r(t) = 1/3 h(t).

Das Volumen V(t) in Höhe h(t) ist also V(t) = 1/3 π r(t)² h(t) = 1/27 π h(t)³. Damit ist h(t) = 3 · ³√(V(t)/π).

Andererseits gilt V(t) = 30t für das Volumen V(t) zum Zeitpunkt t. Somit ist

        h(t) = 3 · ³√(30t/π).

Berechne h'(120).

Comments

Kann es sein, dass du das pi vergessen hast?

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Kann es sein, dass das immer noch falsch ist?

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Nein.           

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Berechne h'(120). 

h(t) ist für t = 120 nicht definiert.

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Warum sollte 3 · ³√(30·120/π) nicht definiert sein?

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Da der Kegel bereits bei 2 Minuten am überlaufen ist gilt für die Änderungsrate der Wasserhöhe 0 cm/s.

Answer 4

Nenne die Höhe des Wasserpiegels über der Kegelspitze x und den Wasserspiegelradius R. Dann ist x/R=3/1oder R=x/3. Das Volumen bis zur Wasserspiegelhöhe x ist dann V(x)=π/3·R²·x=π/9·x³.Muss leider abbrechen.

Answer 5

r = 1/3·h

V = 1/3·pi·r^2·h = 30·t

I in II einsetzen und nach h auflösen.

h(t) = (810/pi·t)^{1/3}

h'(t) =(30/(pi·t^2))^{1/3}

h'(120) = (30/(pi·t^2))^{1/3}