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Ein rechteck hat 46 cm umfang und 120 cm ² Flächeninhalt. Wie lang sind dessen Diagonalen ? Mit den quadratischen Funktionen lösen

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Hi,

A = a*b = 120

u = 2a+2b = 46


Letzteres durch 2 dividieren und nach a umformen. Dann in die erste Gleichung

a = 23-b

--> (23-b)*b = 120

23b - b2 = 120

b2 - 23b + 120 = 0    |pq-Formel

b_(1) = 8 und b_(2) = 15


Damit in die andere Gleichung und man erhält a = 8 und b = 15 oder a = 15 und b = 8.

Die Diagonale ist dann d = √(a2+b2) = 17


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
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Ein Rechteck mit den Seiten aa und bb hat den Umfang von 46cm46\text{cm}

U=2(a+b)=46cmU=2(a+b)=46 \text{cm}

... und 120cm2120 \text{cm}^2 Flächeninhalt

F=ab=120cm2F= a \cdot b = 120 \text{cm}^2

aus der ersten Gleichung folgt b=46cm/2ab=46 \text{cm}/2 -a - Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt

a(46cm/2a)=120cm2a \cdot (46 \text{cm}/2 -a) = 120 \text{cm}^2

a2a23cm+120cm2=0a^2 - a \cdot 23 \text{cm} + 120 \text{cm}^2 = 0

a1,2=11,5cm±132,25120cm=(11,5±3,5)cma_{1,2}=11,5\text{cm} \pm \sqrt{132,25-120} \text{cm}=(11,5 \pm3,5 )\text{cm}

Daraus folgen die beiden Seiten a=8cma=8\text{cm} und b=15cmb=15\text{cm} (bzw. umgekehrt, was aber keinen Unterschied macht) und damit die Diagonale dd

d=82+152cm=17cmd=\sqrt{8^2+15^2} \text{cm}=17\text{cm}

Gruß Werner

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