Haben Umfang und Flächeninhalt einen Grenzwert? Aufgabe 10

Question

  Umfang explizite Formel

4a+6n mal (a/6n+1)= 4a+6na/6n+1 ist das so okay? Umfang rekursiv? Und Fläche???Grenzwert?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Die Folge von Figuren beschreiben

Stichworte: grenzwert,folge

Ich bitte um die Lösung der Aufgabe 10. Inklusive der rekursiven und expliziten Formel zu der Folge

Vielen Dank

---

Warum tut ihr euch nicht zusammen

https://www.mathelounge.de/477972/haben-umfang-und-flacheninhalt-ein…

um die Aufgabe zu bearbeiten. Tut euer Wissen zusammen. So haben wir das auch in der Uni erfolgreich getan.

Answer 1

gebe ich der erste Figur den Index 0, so kommen in jedem Schritt $3^{(n-1)}$ kleine Quadrate hinzu. Jedes dieser Quadrate hat die Seitenlänge $a \cdot 3^{-n}$ - also das zusätzliche Quadrat bei der zweiten Figur ($n=1$) hat die Seitenlänge $a/3$, die Quadrate bei der nächsten haben $a/9$ usw. Der Umfang $U$ berechnet sich aus der Summe von $a^2$ und aller zusätzlichen senkrechten Seiten. $a$ sei die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats. Da jedes zusätzliche Quadrat zwei senkrechte Seiten hat - folgt daraus

$$U_n=U_{n-1} + 2 \cdot 3^{(n-1)} \cdot a\cdot 3^{-n}=U_{n-1} + \frac{2}{3}a$$

D.h. der Umfang wächst mit jedem Schritt um einen konstanten Betrag und damit über alle Grenzen - es existiert kein Grenzwert.

Die Fläche $F$ dagegen

$$F_n = F_{n-1} + 3^{(n-1)} \cdot (a \cdot 3^{-n})^2=F_{n-1} + \frac{1}{3^{(n+1)}}a$$

hat einen Grenzwert, da der Zuwachs einer geometrischen Reihe mit einem Faktor $<1$ entspricht. Das kann man sich anschaulich klar machen, wenn man folgende Figur betrachtet:

egal wie viele Quadrate noch hinzugefügt werden, sie werden nie über die gepunktete Linie kommen. Der Flächeninhalt ist demnach endlich.

Gruß Werner

Comments

Wow, sehr ausführliche Erklärung. Jetzt muss ich das echt erst mal versuchen nachzuvollziehen.

Answer 2

Haben Umfang und Flächeninhalt einen Grenzwert?

Der Flächeninhalt hat bestimmt einen endlichen Grenzwert. Grund: Die Folge der Flächeninhalte ist monoton steigend. Ausserdem ist der Flächeninhalt insgesamt kleiner als a² + a² (wenn a die Seitenlänge des grössten Quadrates ist). Also: Monotone und beschränkte Folge.

Für den Umfang musst du explizit rechnen.

Answer 3

Ich habe keine Ahnung wie du auf deine Formel zum Umfang kommst. Aber wenn a die Ursprungliche Seitenlänge ist dann sollte a einfach nur ein Faktor sein, den man später auch ausklammern kann. Das ist bei dir nicht der Fall.

Bitte schreibe mal von JEDER Folge die ersten 4. Folgeglieder auf.

Mach dir dann Gedanken wie das 5. Folgeglied lauten könnte und warum.

Wenn du nicht weiter kommst dann helfe ich gerne. Aber probiere es zunächst mal.