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Gegeben ist die Funktionsgleichung f1(x)=(x2+x)/(x2+1). Damit werden drei weitere Funktionen definiert: f2(x)=f1(-x), f3(x)=1-f1(-x) und f4(x)=1-f1(x). Die Punkte A(f1(x)|f2(x)), B(f2(x)|f4(x)), C(f4(x)|f3(x)) und D(f3(x)|f1(x)) bilden ein Viereck, das für alle Zahlen x die gleiche Form hat. Welche Form ist das? Antwort bitte mit Beweis.

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Die Funktionen haben also die Gleichungen

f1(x) = (x2+x) / (x2 + 1)

f2(x) = (x2 - x) / (x2 + 1)

f3(x) = (x+1) / (x2 + 1)

f4(x) = (1-x) / (x2 + 1)

Dann ist z.B. die Länge von AB

|AB| = √ (f2(x)-f1(x))2 + (f4(x) - f2(x))2  )

        = √ ( 4x2 / (x2 + 1)2  + (1-x2)2 / (x2 + 1)2  )

        = √ ( ( 4x2 + 1 -  2x2 + x4 ) / (x2 + 1)2  )

        =  1

Ebenso die anderen 4 Seiten des 4-ecks.

Also ist es jedenfalls eine Raute mit der Seitenlänge 1.

Außerdem sind alle Winkel 90°.

Berechne einfach die Skalarprodukte der Vektoren,

etwa  AB * BC  etc. Das gibt immer 0.

Also sind es alles Quadrate mit der Seitenlänge 1.

Die Diagonalen schneiden sich immer im Punkt  M (0,5 ; 0,5 ) ,

also die Ecken liegen immer alle auf demselben Kreis um

M mit Radius 0,5*√2 .

Falls du geogebra benutzt, schau mal hier:

Quadrat_mit_f.ggb (10 kb)

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