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Für p ∈ ℝ bezeichne cp die Menge aller konvergenten Folgen (xj)j=1 aus mit limes j gegen unendlich für xj = p.

Wie kann ich untersuchen für welche p∈ℝ die Menge cp ein Unterraum von c ist.

von

Muss so ein Unterraum eigentlich die Nullfolge enthalten?

Kann ja. Aber wie untersucht man das. Es kann ja auch mehr geben

1 Antwort

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Wenn du zwei Folgen hast mit Grenzwert p, dann hat wegen der Grenzwertsätze die

Summe der Folgen den Grenzwert 2p.

Da die Summe zweier Elemente eines Unterraumes aber wieder im Unterraum sein

muss, muss auch die Summe aus cp sein.  Also muss gelten 2p=p

und das gilt in ℝ nur für p=0.

Das ist also der einzige Fall, bei dem  cp ein Unterraum sein kann.

In der Tat enthält er den Nullvektor ( Die Folge aus lauter 0en) und

mit jeder Folge  (xj)j∈ℕ auch deren  Negativ  (-xj)j∈ℕ  ; denn wenn die

erste eine Nullfolge ist, ist es die zweite auch. Außerdem ist jedes

Vielfache einer Folge aus   cp  wieder in   cp . Also ist es ein

Unterraum.

von 152 k

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