Die Folge (an) sei gegeben durch die Gleichungen
a1=√2, a2=(2+√2)1/2 .........; an= (2+an+1)1/2
Man Zeige, dass die Folge Konvergiert und berechne der Grenzwert!
Hinweis: Zum Nachweis der Konvergenz beweise man, dass an ≤ 2 für alle n ist und dass die Folge (an) monoton wächst
Soll das eventuell an+1= (2+an)1/2 heißen?
Keine Lösung, nur zwei Tipps: Es soll l an+1= (2+an)1/2 heißen.
.Zum Nachweis der Konvergenz beweise man, dass an ≤ 2 für alle n ist und dass die Folge (an) monoton wächst. Daraus kann man schließen dass der Grenzwert 2 ist.
Zum Nachweis der Konvergenz beweise man, dass an ≤ 2 für alle n ist und dass die Folge (an) monoton wächst.
Die beiden Beweise sehen wie folgt aus:
a(n + 1) > a(n)(2 + a(n))^{1/2} > a(n)2 + a(n) > a(n)^2a(n)^2 - a(n) - 2 < 0-1 < a(n) < 2
a(n + 1) < 2(2 + a(n))^{1/2} < 22 + a(n) < 4a(n) < 2
den ersten Teil kannst du Induktiv machen:
a1<2 passt
a(n+1)=√(2+a(n))<√(2+2)=2
aufgrund der Monotonie der Wurzelfunktion.
Zur Monotonie:
a(n+1)-a(n)
=√(2+a(n))-a(n)>0
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