Kreisscheibe offen, Definitionsbereich nicht offen

Question

Es sei f: R² --> R² definiert durch: f(r,t)= ( rcos(t), rsin(t) )

Ich suche ein offene Teilmenge von R², sodass f(C) nicht offen in R² ist.


f(r,t) beschreibt eine Kreisfläche in der Ebene.

Die darf nicht offen sein. Das heißt, ich muss entweder den Radius einschränken, oder den Kreiswinkel.

Wenn ich zB. sag, dass 0<=r<=1 ist, so erhalte ich eine Kreisfläche mit Radius von 1. Das ist keine offene Menge. Aber C ist dann nicht offen...


Wenn ich stattdessen den Winkel einschränke, also meinetwegen 0<=t<=pi/2 mache, erhalte ich einen unendlich langen Viertel-Kreis-Sektor, der von den Achsen begrenzt und damit nicht offen ist.

Aber C ist auch nicht offen, weil t in einem geschlossenen Intervall feststeckt.


Jemand eine Idee?


Gruß


Jellal

Answer 1

die Menge C := {(r, t): r ∈ (-1, 1), t ∈ (0, pi/2)} ⊂ ℝ^2 ist offen im ℝ^2, aber das Bild f(C) enthält mit (0, 0) einen Randpunkt. f(C) ist sich vorzustellen wie eine Fliege (im modischen Sinne), die um den Urpsrung gebunden ist.

MfG

Mister

Comments

Brillant, d.h. es ist nur ein einziger Punkt da, der die Offenheit der Menge verhindert.

Hab die ganze Zeit nur auf den positiven Teil des Kreisviertels geschaut - mit dem negativen zusammen ergibt sich dann die Lösung.


Danke Mister, Du hast mir mal wieder geholfen, wieder einen Schritt näher an einer guten Klausurnote Dienstag :)


Gruß


Jellal

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Du kannst dir sogar überlegen, dass jede solche "Gegenbeispielmenge" \(C\) den Nullpunkt enthalten muss, denn in allen anderen Punkten ist die Funktion lokal invertierbar.

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(0, 0) heißt daher auch "singulärer Randpunkt" von f(C). Die gesamte Gerade (0, t) im Definitionsbereich wird durch f auf (0, 0) abgebildet wird. Dies ist der Grund, warum f dort nicht invertierbar ist.

Freut mich zu hören. Ich wünsche viel Erfolg bei der Klausur.