a) Bei der Definition der Stetigkeit an der Stelle a heißt es ja
am Schluss: | x - a | < δ==> | f(x) - f(a) | < ε. #
Du musst dir also vorstellen: Man hat (irgendein) positives ε
und muss nun zu diesem ein δ finden, damit # erfüllt ist.
Man muss also am Ende schließen können
| f(x) - f(a) | < ε.
Das hieße bei deiner Funktion
| |x| - |a| | < ε.
Vielleicht erinnert dich das an
https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung
Denn wenn du die anwendest, bekommst du ja (u.a.)
| |x| - |a| | ≤ | x - a |. ##
Und wenn du also wissen willst, unter welcher Voraussetzung für | x - a |
du schließen kann | f(x) - f(a) | < ε bzw. | |x| -|a| | < ε, dann siehst du:
Es reicht δ = ε ; denn wenn du nun hast
| x - a | < δ dann gilt wegen ## auch | |x| - |a| | < δ ; denn wenn das
eine kleiner Delta ist, dann ist das kleinere erst recht kleiner δ.
Und weil du δ = ε gewählt hast, gilt dann auch | |x| - |a| | < ε,
und das war ja zu zeigen. Solche Überlegungen werden in
Büchern oft stark abgekürzt, und sind dann vielleicht auch nicht
leicht verständlich. Man könnte den Beweis ganz korrekt auch kurz so schreiben.
Ich zeige die Stetigkeit von f an der Stelle a∈ℝ :
Sei ε > 0 . Wähle δ = ε . Dann gilt für alle x ∈ℝ
| x-a | < δ Dann folgt mit der umgekehrten Dreiecksungleichung
| |x| - |a| | < δ und damit | |x| - |a| | < ε
< = > | f(x) - f(a) | < ε. q.e.d.
