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F31FC11F-16AC-407C-8902-314575D4C65B.jpeg Das ist die Aufgabe. Kann mir die eventuell jemand vorrechnen oder erklären ich verstehe es nicht habe es mehrmals versucht !! 

von

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a) Bei der Definition der Stetigkeit an der Stelle a heißt es ja

am Schluss:     | x - a | < δ==>   | f(x) - f(a) | < ε.       #

Du musst dir also vorstellen: Man hat (irgendein) positives ε

und muss nun zu diesem ein δ finden, damit # erfüllt ist.

Man muss also am Ende schließen können

| f(x) - f(a) | < ε.

Das hieße bei deiner Funktion 

| |x| - |a| | < ε.

Vielleicht erinnert dich das an

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung

Denn wenn du die anwendest, bekommst du ja (u.a.)

| |x| - |a| | ≤ | x - a |.       ##

Und wenn du also wissen willst, unter welcher Voraussetzung für | x - a |

du schließen kann | f(x) - f(a) | < ε    bzw. | |x|  -|a|  | < ε, dann siehst du:

Es reicht  δ = ε ; denn wenn du nun hast  

| x - a | < δ  dann gilt wegen    ##   auch   | |x| - |a| | < δ  ; denn wenn das 

eine kleiner Delta ist, dann ist das kleinere erst recht kleiner δ.

Und weil du δ = ε gewählt hast, gilt dann auch   | |x| - |a| | < ε,

und das war ja zu zeigen.        Solche Überlegungen werden in

Büchern oft stark abgekürzt, und sind dann vielleicht auch nicht 

leicht verständlich. Man könnte den Beweis ganz korrekt auch kurz so schreiben.

Ich zeige die Stetigkeit von f an der Stelle a∈ℝ :

Sei ε > 0 . Wähle δ = ε . Dann gilt  für alle x ∈ℝ

| x-a | < δ Dann folgt mit der umgekehrten Dreiecksungleichung

| |x| - |a| | < δ  und   damit | |x| - |a| | < ε

                    < = >  | f(x) - f(a) | < ε.    q.e.d.

von 152 k

noch kurz zu b):   Einzig problematisch ist ja die Stelle x=1.

Da ist der linksseitige Grenzwert a2 + 1 und der rechtsseitig und der

Funktionswert sind 2a.

Damit es stetig ist, muss also 

a2 + 1 = 2a gelten. Und das hat die einzige Lösung a=1.

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