0 Daumen
112 Aufrufe

Es geht um Matrizen 


Gegeben sei die Matrix 

350
132
023


Bestimme
 a) sämtliche Eigenwerte

b) Sp (A), det (A)

c) Eigenvektor von A

d) Sind die Eigenvektoren linear unabhängig

Wäre für eure Hilfe sehr Dankbar!  

Gefragt von

1 Antwort

+1 Punkt

Hi,

ich nenne die angegebene Matrix mal \(A\).

Zur a):

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix \(A\) sind genau die Eigenwerte von \(A\).

Dein charakteristisches Polynom ist:

\(\chi_A=\det(t \cdot Id_3-A)\)

Zur b):

Die Determinante würde ich mit dem Laplaceschen Entwicklungsatz nach der ersten Zeile berechnen:

\(\det(A)=3 \cdot \det(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}) - 5 \cdot \det(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\end{pmatrix}) + 0 \cdot \det(\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2\end{pmatrix})\)

Den Rest überlasse ich dir.

Die Spur ist die Summe der Diagonaleinträge, das kriegst du hin :)

Zur c):

Sei \(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\) und \(x_{\lambda}\) ein zugehöriger Eigenvektor.

Es gilt: \(Ax_{\lambda}= \lambda \cdot x_{\lambda} \ \Rightarrow \ (A- \lambda \cdot Id_3)x=0\)

Dies kannst du nun z.B. mit Hilfe des Gauß-Algorithmus lösen.

Beantwortet von 2,9 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Kannst du mir den Aufgabenteil a) vielleicht nochmal erklären? Das habe ich nicht so richtig verstanden. Wie kann man den von einer Matrix die Nullstellen ablesen bzw rechnen? 

Eine Matrix hat keine Nullstellen. Du musst die Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen. Berechne dieses einfach mal :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...