Determinante, Abbildungsmatrix

Question

hat jemand eine Ahnung wie man die Determinante von einem K-Vektorraum rechnen kann ?

Betrachte den K-Vektorraum V = K^2×2 der 2 × 2 Matrizen über dem Körper K und die lineare Abbildung
ν: K^2×2 → K^2×2
A → MA (Matrixmultiplikation)

für eine gegebene Matrix M =  (a b
                                                  c d) ∈ K^2×2

(a) Zeige, dass ν linear ist.
(b) Gebe eine Basis B für V an.
(c) Bestimme die Abbildungsmatrix MBB (ν).
(d) Bestimme die Determinante von ν.

Danke

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Determinante von Matrizen

Stichworte: matrix,determinante,inverse,algebra,multiplikation

Betrachten Sie den K-Vektorraum V = K
2×2 der 2 × 2 Matrizen über dem Körper K und die lineare
Abbildung
ν: K
2×2 → K
2×2
,
A → MA (Matrixmultiplikation)
für eine gegebene Matrix M =

a b
c d
∈ K
2×2
.
(a) Zeigen Sie, dass ν linear ist.
(b) Geben Sie eine Basis B für V an.
(c) Bestimmen Sie MB
B
(ν).
(d) Bestimmen Sie die Determinante von ν.

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Ist das nicht auch schon hier https://www.mathelounge.de/508675/determinante-von-matrizen ? 

Sieht bei dir lesbarer aus. 

Answer 1

Hi,

zur a): $\nu(A+B)=\nu(A)+\nu(B)$ musst gelten. Das folgt eigentlich direkt. wieso?

b) Tipp: Denke an die Standardbasis mit den Einheitsvektoren im $\mathbb{R}^n$. In $K^{2 \times 2}$ gibt es auch eine Standardbasis und die Matrizen dieser Basis (Standardmatrizen) sehen den Einheitsvektoren ähnlich :)

Zur c) und d): Wir hatten nie Abbildungsmatrizen zwischen Matrizenräumen. Finde dazu aber auch leider nichts im Internet. Könnte mir vorstellen, dass man sagt, dass es einen Isomorphismus zwischen $Mat(2 \times 2, K)$ und $K^4$ gibt und dann die Abbildungsmatrix von $f: K^4 \to K^4: \ A' \mapsto M' \cdot A'$ bestimmt, wobei $A'=(a_{11}, a_{12}, a_{13},a_{14})^T$ und $M'=(a,b, c,d)^T$ nun Vektoren sind und $„\cdot “$ für die komponentenweise Multiplikation steht. 

Wissen tue ich das allerdings nicht. Wäre gut, wenn das jemand bestätigen oder verneinen könnte.

Comments

und „⋅“ für die komponentenweise Multiplikation steht

kann man getrost verneinen