Ist Polynom ein Vektorraum?

Question

Ich habe eine neue Aufgabe von meinem Professor bekommen und weiß leider nicht wie ich diese angehen soll. Eventuell kann mir ja jemand weiterhelfen :)

Sei n ∈ ℕ und Pn(ℝ) die Menge der Polynome vom Grad kleiner gleich n.
Zeigen Sie: Mit punktweiser Addition und skalarer Multiplikation ist Pn(ℝ) ein Vektorraum.

Answer 1

Etwas ist ein Vektorraum, wenn es die Vektorraumaxiome erfüllt.

Die musst du also alle prüfen.

Sei also n ∈ ℕ und    f , g aus   V =   Pn(ℝ) . Dann gibt es reelle Zahlen 

a₀,a₁,....a_n und b_o , b₁ , ....b_n mit 

f = a₀ + a₁*x + a₂*x² + .... + a_n*xⁿ .  und 

g = b₀ + b₁*x + b₂*x² + .... + b_n*xⁿ . 

Nun musst du ja erst mal zeigen  ( V , + ) ist eine Gruppe.

1. Abgeschlossenheit:   f+g = (a0+b0) + (a1+b1)*x + (a2+b2)*x² + .... + (an+bn) *xⁿ

ist wieder in V, also ist  ( V , + ) abgeschlossen.

 2.       + ist assoziativ , kannst du auf Assoziativität in ℝ zurückführen.

3. neutrales Element: Das Nullpolynom mit ao=a1=a2=....=an=0

4. inverses zu f ist -f mit den Koeffizienten -ao , -a1 , .......

Und nun noch die anderen Vektorraumaxiome zeigen.

Comments

danke für die schnelle Antwort und natürlich den Ansatz. Kann ich diesen auch bei der skalaren Multiplikation nutzen oder muss ich dort anders vorgehen?