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Ich habe eine neue Aufgabe von meinem Professor bekommen und weiß leider nicht wie ich diese angehen soll. Eventuell kann mir ja jemand weiterhelfen :)


Sei n ∈ ℕ und Pn(ℝ) die Menge der Polynome vom Grad kleiner gleich n.
Zeigen Sie: Mit punktweiser Addition und skalarer Multiplikation ist Pn(ℝ) ein Vektorraum.

von

1 Antwort

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Etwas ist ein Vektorraum, wenn es die Vektorraumaxiome erfüllt.

Die musst du also alle prüfen.

Sei also n ∈ ℕ und    f , g aus   V =   Pn(ℝ) . Dann gibt es reelle Zahlen 

a0,a1,....an und bo , b1 , ....bn mit 

f = a0 + a1*x + a2*x^2 + .... + an*x^n .  und 

g = b0 + b1*x + b2*x^2 + .... + bn*x^n . 

Nun musst du ja erst mal zeigen  ( V , + ) ist eine Gruppe.

1. Abgeschlossenheit:   f+g = (a0+b0) + (a1+b1)*x + (a2+b2)*x^2 + .... + (an+bn) *x^n

ist wieder in V, also ist  ( V , + ) abgeschlossen.

 2.       + ist assoziativ , kannst du auf Assoziativität in ℝ zurückführen.

3. neutrales Element: Das Nullpolynom mit ao=a1=a2=....=an=0

4. inverses zu f ist -f mit den Koeffizienten -ao , -a1 , .......

Und nun noch die anderen Vektorraumaxiome zeigen.

von 152 k

danke für die schnelle Antwort und natürlich den Ansatz. Kann ich diesen auch bei der skalaren Multiplikation nutzen oder muss ich dort anders vorgehen?


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