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Die Zeiger einer Uhr stehen auf 6:00. Nach welchdr Zeit sind die beiden Zeiger deckungsgleich? Welchen Winkel hat dann der Minutenzeiger zurückgelegt?

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Ich komme nicht auf die Lösung, bitte helft mir doch

So vielleicht: \(\displaystyle\varphi=\pi\sum_{k=0}^\infty\frac1{12^k}=\tfrac{12}{11}\pi\).

Hast du vielleicht einen ausführlichen Rechenweg für mich?

Aufgrund der Überschrift vermute ich, dass du die Methode "Achilles und die Schildkröte" benutzen sollst.

Der kleine Stundenzeiger bewegt sich mit einer (Winkel-)Geschwindigkeit, die nur 1/12 von der des großen Minutenzeigers beträgt.

Startposition zum Zeitpunkt t_0 = 0 :  Der große Zeiger auf Position P_0 = 12, der kleine auf Position p_0 = 6.

30 Minuten später zum Zeitpunkt t_1 :  der große Zeiger ist jetzt dort, wo der kleine gestartet ist, also P_1 = p_0 , in dieser Zeit hat der kleine aber 30/12 Minuten zurückgelegt und ist schon auf Position p_1 .

Weitere 30/60 Minuten später zum Zeitpunkt t_2 ist der große Zeiger dort wo der kleine eben noch gewesen ist, also seine Position ist P_2 = p_1, er hat den kleinen aber trotzdem nicht eingeholt, denn der ist in dieser Zeit um 30/12^2 Minuten weiter gelaufen und befindet sich jetzt bereits in der neuen Position p_2.

Und wenn der große Zeiger diese Position erreicht hat, also weitere 30/12^2 Minuten später, dann ist der kleine ihm schon wieder entwischt, denn er hat dann einen Vorsprung von 30/12^3 Minuten.

Und indem Zenon seinen Zuhörern glaubhaft versichert, dass der große den kleinen somit niemals wird einholen können, weil ja der kleine immer schon wieder weg ist, wenn der große an dessen vormaliger Position angekommen ist, will Zenon doch nur die seinen Zuhörern nur schwer einleuchtende Tatsache illustrieren, dass eine Summe von "unendlich vielen" Summanden (Zeitinervallen) dennoch einen endlichen Wert haben kann (weil nämlich diese Zeitintervalle "unendlich klein" werden können).

Wir wissen natürlich, dass der Zeitpunkt des Einholens t_∞ der Grenzwert der Folge (t_n) ist mit  t_n  =  30 + 30/12 + 30/12^2 + 30/12^3 + ... + 30/12^n .
Dies ist die geometrische Reihe mit dem Startwert a_0 = 30 und dem Quotienten q = 1/12 (< 1) , die den Grenzwert  a_0 · 1/(1-q)  =  30 · 1/(1 - 1/12)  =  30·12/11   hat.

Zu diesem Zeitpunkt 360/11 Minuten nach 6Uhr hat der Große den Kleinen eingeholt.

Weil 60 (Zeit-)Minuten einem Winkel von 360° entsprechen (1 Minute also einem Winkel von 6°), hat er dabei den Winkel  6·(360/11)° = 6·2π/11 überstrichen.

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Hi!

Anzahl der Umdrehungen des großen Zeiges  <=>  Anzahl der Umdr. des kleinen Zeigers

12 <=> 1
1 <=> 1/12
1/60 <=> 1/(12*60) = 1/720

==> Eine 1/60 (sechzigstel) Umdrehung dauert eine Minute  <=> 1/720 (siebenhundert zwanzigstel) Umdrehung dauert ebenfalls eine Minute.
==> 360°/60 = 6° pro Minute  <=> 360°/720 = 0,5° pro Minute.

Ein Zeiger auf 3 Uhr  <=> 0°
Großer Zeiger auf 12 Uhr <=> 90°
Kleiner Zeiger auf 6 Uhr <=> -90°

Daraus die Gleichung
90° + n*6° = -90 + n*0,5° und ohne die Einheiten
90 + n*6 = -90 + n*0,5
==> n = -360/11
Wir begnügen uns mit dem Betrag |n| = 360/11 ≈ 32.727 Minuten.
Nach rund 32 Minuten und 44 Sekunden(Um 6 uhr 32 Minuten und 44 Sekunden) sind die Zeiger deckungsgleich.
Dann hat der Minutenzeiger 360/11*6 ≈ 196,36 Grad zurückgelegt.
Das sind 360/11*π*60/180 = 12π/11 rad.

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Grüße

Avatar von 11 k
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Anderer Versuch:

Der Minutenzeiger dreht sich mit der Geschwindigkeit \( \dot \alpha = \frac{2 \pi}{1h} \) und der Stundenzeiger dreht sich mit der Geschwindigkeit \( \dot \beta = \frac{ 2 \pi}{12 h}  \)

Damit die Zeiger nach der Zeit \( T \text{ Stunden }\) übereinanderstehen, muss gelten \( T \dot \alpha = T \dot \beta + \pi \), also

$$ T = \frac{\pi}{\dot \alpha - \dot \beta} $$ also $$ \alpha = \frac {12}{11}\pi  $$

Avatar von 39 k

Der Stundenzeiger macht eine Umdrehung in 12 Stunden.

Ja wenn man die Uhr lesen könnte wäre das nicht passiert. Danke für den Hinweis. Damit ergibt sich $$ \alpha = \frac {12}{11}\pi $$ also das gleiche wie bei Dir.

Ich habe das oben korrigiert.

Kannst du bitte genauer ausführen, wie man auf alpha kommt, komme auf was anderes , wenn ich das in dem Bruch einsetze..

$$  \alpha = T \dot \alpha  = \frac {6}{11} 2\pi $$

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