Ok, fangen wir vorne an: Die Amplitude a ist die Hälfte der Differenz des größten und des tiefsten Wertes, hier also:
$$ a=\dfrac{16-8}{2}=4 $$
Um b zu bestimmen, benötigen wir die Länge p der Periode in Tagen. Wie groß ist die?
So, weiter geht's: Die Periodenlänge beträgt ein Jahr, das sind etwas mehr als 365 Tage, nach Vorgabe soll mit gerundeten Werten gerechnet werden, hier also mit gerundeten 365 Tagen. Daher ergibt sich mit
$$ b = \dfrac{2\pi}{365} $$der Parameter b. Stand der Dinge bisher:
$$ f(x) = 4 \cdot \sin\left( \dfrac{2\pi}{365} \cdot (x-c) \right) + d $$
Wäre der Horizontalversatz c gleich 0, dann läge die erste Hochstelle bei einem Viertel der Periodenlänge, also bei 365:4=91.25 Tagen, das wäre also am 92. Tag.
Tatsächlich liegt die erste Hochstelle am 21.6., das ist der Tag Nummer
31+28+31+30+31+21=172
Das ergibt eine Horizontalverschiebung von
$$ c=172-92=80 $$Tagen nach rechts. Stand der Dinge also:
$$ f(x) = 4 \cdot \sin\left( \dfrac{2\pi}{365} \cdot (x-80) \right) + d $$
Der Vertikalversatz nach oben beträgt
$$ d=\dfrac{16+8}{2}=12 $$Stunden. Damit könnte die Tageslichtlänge in Stunden in Abhängigkeit von der Anzahl an Tagen seit Jahresbeginn beschrieben werden durch
$$ f(x) = 4 \cdot \sin\left( \dfrac{2\pi}{365} \cdot \left(x-80\right) \right) + 12 $$
Nun rechnen wir mal nach, ob das überhaupt richtig ist und wie gut die Werte tatsächlich sind, berechnen wir Werte an und in der Nähe der beiden Sonnenwenden:
f := x -> 4*sin(2*float(PI)/365*(x-80))+12
21. Juni, Sommersonnenwende (Tag Nr. 172):
f(170) = 15.99907401
f(171) = 15.99996296
f(172) = 15.99966663
21. Dezember, Wintersonnenwende (Tag Nr. 365-10=355):
f(353) = 8.000333365
f(354) = 8.000037041
f(355) = 8.000925992
Das ist schon mal ganz gut, wir sehen aber auch, dass wir bessere Werte bekommen, wenn wir die Funktion noch um einen Tag nach rechts verschieben, statt \(c=80\) also \(c=81\) wählen.
Abschluss: Die Funktion
$$ f(x) = 4 \cdot \sin\left( \dfrac{2\pi}{365} \cdot \left(x-81\right) \right) + 12 $$leistet in guter Näherung das Gewünschte.
Geeignete Codes zum selbst rechnen wären:
MuPAD:
f := x -> 4*sin(2*float(PI)/365*(x-81))+12
Google-Plotter:
4*sin(2*pi/365*(x-81))+12
Google-Rechner (x durch Anzahl Tage ersetzen):
4*sin(2*pi/365*(172-81))+12
(Taschenrechner ggf. auf Bogenmaß umschalten.)
