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Hallo :)
Meine Frage wäre, wann man bei senkrechten Asymptoten "+0" oder "-0" benutzt.. 

Bisher war ich immer der Annahme, dass man wenn man von Links kommt die -0 benutzt und von Rechts die +0 und das dann bei geteilt durch -0 der GW -unendlich ist und bei +0 der GW +unendlich.

Die Funktion x2-x+1/x2-1 hat mir aber leider gerade das Gegenteil bewiesen, da ich wenn ich den Grenzwert von Links gegen die -1 laufen lasse +unendlich und nicht wie vorher angenommen -unendlich erhalte.

Daher meine Frage, woran erkenne ich welche 0 ich zum GW bestimmen benötige?

von

Achte auf die Reihenfolge der Zeichen.

Du meinst 0- und 0+  oder z.B. 2- und 2+ . 

Was vor den Zahlen steht ist ein Vorzeichen der Zahl daneben. 

3 Antworten

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Beste Antwort

f(x) = (x^{2}-x+1)/(x^{2}-1)

= (x^{2}-x+1/4 - 1/4 + 1)/((x+1)(x-1))

= ((x-1/2)^2 + 3/4)/((x+1)(x-1)) 

Nun siehst du 

Erstens: Der Zähler ist immer positiv (nie kleiner als 3/4) . Daher: Keine Nullstellen!

Zweitens: x = -1 und x = 1 sind einfache Nullstellen des Nenners. Ausserdem ist der Nenner für |x| > 1 positiv und für |x| <1 negativ.

Soweit klar?

[spoiler]

Du weisst nun, dass bei x=-1 und x=+1 vertikale Asymptoten vorliegen und dass der Graph die x-Achse nie kreuzt. 

Zeichne das Koordinatensystem und die beiden Asymptoten. 

~plot~ x=-1;x=1 ~plot~

Nun muss zwischen den beiden Asymptoten ein Bogen asymptotisch an die vertikalen Linien gezeichnet werden, der ganz unterhalb der x-Achse verläuft. 

Für |x| > 1 hingegen sind alle Funktionswerte positiv. Der Graph geht asymptotisch gegen oben ins Unendliche .

~plot~ x=-1;x=1; (x^{2}-x+1)/(x^{2}-1) ~plot~

[/spoiler] 

Anmerkung:

(x-1)(x+1) ist (x-1)^1 * (x+1)^1 .

Ungerade Exponenten in der (fertig gekürzten) Faktorzerlegung zeigen dir, dass die Funktion an der Polstelle das Vorzeichen ändert. D.h. wenn der Graph auf der einen Seite von x=a nach oben verschwindet, beginnt er auf der andern Seite von x=a von unten (minus unendlich). (bei geraden Exponenten ändert sich das Vorzeichen nicht)

von 6,9 k

Wow, was eine bombastische Erklärung! Vielen vielen Dank für die Mühe!

Kein Problem. Ich hoffe, das klärt nun ein für alle mal auch möglichst viele andere Fälle, die du noch antriffst. 

+1 Daumen

Es gibt den linksseitigen Grenzwert und den
rechtsseitigen Grenzwert. Beide müssen nicht
identisch sein.

In deinem Beispiel ist
lim x −> 0 (-) = + ∞
lim x −> 0 (+) = + ∞

von 89 k

Der beidseitige Grenzwert bei 0 ist -1 :o wenn ich jetzt nicht ganz auf dem schlauch stehe?
+∞ oder -∞ geht doch nur wenn der Nenner Null wird und das ist bei -1 und 1 der Fall.

Ein Grenzwert kann prinzipiell beliebig
angegeben werden.

Deine Funktion ist für das Glied 1/x^2
und x = 0 nicht definiert.

Deshalb empfiehlt es sich das Verhalten
an dieser Stelle zu betrachten.

Hier der Graph

gm-223.JPG

Der Graph sieht aber so aus :o Entschuldigung, dass die Klammern gefehlt haben :/Unbenannt.PNG

Aufgrund meiner Efahrungen würde ich die
Notation

lim x −> x (-) für den linkseitigen Grenzwert von x
und
lim x −> x (+)  für den rechtsseitigen Grenzwert von x
verwenden.

Dann hast du wie tausend andere auch einmal
wieder die Klammerung vergessen.
Anstelle
x^2-x+1 / x^2-1
muß es heißen
( x^2-x+1) / ( x^2-1 )

Die Stelle
x^2 - 1 = 0 muß untersucht werden
( Division durch 0 )

x^2 - 1 = 0
x = ± 1

lim x −> -1(-)
lim x −> -1(+)

lim x −> +1(-)
lim x −> +1(+)

Bin gern weiter behilflich.

Danke für ihre Mühe, ich habe es dank den vielen Antworten jetzt verstanden und die Klammern vergesse ich so schnell nicht mehr :)!

+1 Daumen

Hallo,

>  dass man wenn man von links kommt die -0 benutzt und von rechts die +0

diese Annahme ist richtig

> und das dann bei geteilt durch -0 der GW -unendlich ist und bei +0 der GW +unendlich.

diese Annahme ist falsch 

Beispiel

limx→ 1-   -1/(x-1)   =  ∞   [ wegen  - / -  ]

------------

Nachtrag:

Ich habe ein anderes Beispiel genommen, weil ich bei deinem nicht sicher war , ob es

(x2-x+1) / (x2-1)   oder  x- x + 1/(x2  - 1)  bedeuten soll 

limx→ -1 (-)  (x2-x+1) / (x2-1)   = limx→ -1 (-)  [(-1)- (-1) +1] / (x2-1)    

                     =  limx→ -1 (-)   1 / (x2-1)    =  + ∞      [ + / + ]

                    ( x2 - 1   ist für Zahlen links von -1 positiv ! )

Gruß Wolfgang

von 82 k

ok vielen dank erstmal für die schnelle Antwort!
Muss bloss leider sagen, dass mir das mein Beispiel immer noch nicht erklärt, wieso habe ich -/- bei linksseitiger-lim x→-1 hätte ich nach dem einsetzen 3/0- und das wäre nach ihrem Kommentar -∞, laut Graph ist der GW dort aber +∞..

Würde mich sehr freuen wenn sie sich nochmal die Mühe machen würden! :)

Du hast nicht  -/-    sondern + / +

vgl. die Ergänzung in meiner Antwort

Auch ihnen vielen Dank für die Mühe! :)

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