Geradengleichung aus zwei Punkten aufstellen, Schnittpunkte berechnen, Graphen verschieben

Question

Ich komme bei folgenden Aufgaben nicht weiter:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x⁴ - x² - 9/8.

Die Gerade g verläuft durch die Kurvenpunkte P(-3|f(-3)) und Q (0|f(0)). Bestimmen Sie die weiteren Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Graphen von f.

Ich habe zunächst die y-Koordinaten der Punkte bestimmt: 

f(-3)= 0          => P(-3|0)

f(0)=-9/8        => Q(0|-9/8)

Dann wollte ich die Geradengleichung bestimmen:

g(x)=mx+b

m=3/8

0=3/8*(-3)+b

b=9/8

g(x)=3/8*x+9/8

Dann wollte ich g(x) mit f(x) gleichsetzen, habe aber gemerkt, dass die Geradengleichung falsch sein muss, weil die Gerade so gar nicht durch Q verläuft. Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe?

Bei folgender Aufgabe weiß ich leider keinen Ansatz: 

Wie muss der Graph von f verschoben werden, damit er genau 3 gemeinsame Punkte mit der x-Achse hat?

Folgendes weiß ich von den vorherigen Aufgaben:

Bei S₁(3|0) und S₂(-3|0) schneidet er die x-Achse. Schnittpunkt mit der y-Achse und gleichzeitig Hochpunkt liegt bei H (0|-9/8). Die Tiefpunkte sind bei T₁(2|-25/8) und T₂(-2|-25/8). Der Graph ist achsensymmetrisch.

Könnte mir bitte jemand bei diesen beiden Aufgaben helfen?

Answer 1

Die y-Koordinate von Punkt P ist falsch. Wir haben folgendes $$f(-3)=(-3)^4-(-3)^2-\frac{9}{8}=\frac{567}{8}$$ Also lautet diese Punkt P(-3 | 567/8). 

Die Geradengleichung lautet somit $$g(x)=-24x-\frac{9}{8}$$ 

Über deine zweite Frage: Von den Extremstellen die du bereits berechnet hast, sehen wir dass wir eine weitere Nullstelle erhalten, wenn wir f soweit nach oben verschieben, dass f(0)+k=0 wird.

Comments

Vielen Die zweite Frage verstehe ich jetzt, nur habe ich Schwierigkeiten nach dem Gleichsetzen nach x₀ aufzulösen.

Wenn ich g und f gleichsetze, erhalte ich ja:

-24x₀-9/8=1/8x₀⁴ -x^2₀-9/8

0=1/8x₀⁴-x₀²+24x₀

Ich weiß nur leider nicht, wie es dann weiter geht. Substitution und pq sind nicht möglich und ausklammern denke ich nicht hilfreich. Muss man hier die Polynomdivision anwenden oder geht das anders?

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Lautet die Funktion $$f(x)=\frac{1}{8}x^4-x^2-\frac{9}{8}$$ statt $$f(x)=x^4-x^2-\frac{9}{8}$$ ? Dann ist der Punkt P doch (-3 | 0). Und die Geradengleichung lautet dann $$g(x)=-\frac{3}{8}x-\frac{9}{8}$$ 

Um die Schnittpunkte zu bestimmen setzen wir die zwei Funktionen gleich und bekommen $$f(x)=g(x)\Rightarrow \frac{1}{8}x^4-x^2-\frac{9}{8}=-\frac{3}{8}x-\frac{9}{8} \\ \Rightarrow  \frac{1}{8}x^4-x^2-\frac{9}{8}+\frac{3}{8}x+\frac{9}{8}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x=0 $$Von den Nullstellen dieser Funktion sind bereits 2 bekannt, und zwar die beiden gegebenen Schnittpunkte, x = -3 und x = 0.
Jetzt wenden wir die Polynomdivision an.
Wir teilen 1/8x⁴-x²+3/8x durch (x-0)(x-(-3)), also durch x(x+3). Die Nullstellen die du dann berechnest, setzt du in der Funktion g(x) ein um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu bestimmen. 

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Dankeschön! Ja, ich habe sie falsch angegeben :(

mit 1/8 als Koeffizient ist sie richtig. Ich kann die Aufgabe nur leider immer noch nicht lösen, weil wir im Unterricht Polynomdivision bisher erst mit positiven Nullstellen gemacht. Die einzige bekannte Nullstelle ist ja x_N= -3 und dann müsste ich die Polynomdivision doch mit (1/8x⁴-x²+3/8):(x+3) durchführen, oder? Wie funktioniert das dann? Ich erhalte komische Werte :(

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$$\left(\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x\right):(x+3)$$
Im ersten Schritt überlegen wir uns, mit was man x multiplizieren muss, damit
1/8x⁴ herauskommt. Die Antwort auf diese Frage ist 1/8x³. Das schreiben wir rechts neben das Gleichheitszeichen.
$$\left(\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x\right):(x+3)=\frac{1}{8}x^3$$
Wir multiplizieren 1/8x³ mit (x+3) und schreiben das Ergebnis in die 2. Zeile. Wie bei der normalen schriftlichen Division schreiben wir noch ein negatives Vorzeichen dazu.
$$\left(\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x\right):(x+3)=\frac{1}{8}x^3 \\ -\left(\frac{1}{8}x^4+\frac{3}{8}x^3\right) $$
Wir ziehen (1/8x⁴+3/8x³) von der ursprünglichen Gleichung ab und schreiben den Rest dieser Subtraktion in die 3. Zeile.
$$\left(\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x\right):(x+3)=\frac{1}{8}x^3 \\ -\left(\frac{1}{8}x^4+\frac{3}{8}x^3\right) \\ -\frac{3}{8}x^3-x^2+\frac{3}{8}x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$
Jetzt beginnt das Schema wieder von Neuem und bekommen folgendes:
$$\left(\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x\right):(x+3)=\frac{1}{8}x^3 -\frac{3}{8}x^2\\ -\left(\frac{1}{8}x^4+\frac{3}{8}x^3\right) \\ -\frac{3}{8}x^3-x^2+\frac{3}{8}x \\ \\ -\left(-\frac{3}{8}x^3-\frac{9}{8}x^2\right) \\ \frac{1}{8}x^2+\frac{3}{8}x $$ 
Jetzt beginnt das Schema wieder von Neuem und bekommen folgendes:
$$\left(\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x\right):(x+3)=\frac{1}{8}x^3 -\frac{3}{8}x^2+\frac{1}{8}x\\ -\left(\frac{1}{8}x^4+\frac{3}{8}x^3\right) \\ -\frac{3}{8}x^3-x^2+\frac{3}{8}x \\ -\left(-\frac{3}{8}x^3-\frac{9}{8}x^2\right) \\ \frac{1}{8}x^2+\frac{3}{8}x \\ -\left(\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{8}x \right) \\ 0$$

Damit ist die Polynomdivision beendet. Wir haben also $$\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x=(x+3)\cdot \left(\frac{1}{8}x^3 -\frac{3}{8}x^2+\frac{1}{8}x\right)$$ Von der zweiten Klammer kann man das x ausklammern, dann bekommen wir folgendes: $$\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x=(x+3)\cdot x\cdot \left(\frac{1}{8}x^2 -\frac{3}{8}x+\frac{1}{8}\right)$$ Wir haben also dass $$\frac{1}{8}x^4-x^2+\frac{3}{8}x=0 \Rightarrow (x+3)\cdot x\cdot \left(\frac{1}{8}x^2 -\frac{3}{8}x+\frac{1}{8}\right)=0$$

Davon bekommen wir x = -3, x = 0 und die Nullstellen von $$\frac{1}{8}x^2 -\frac{3}{8}x+\frac{1}{8}=0$$

Diese kann man mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnen, oder mit der pq-Formel wenn wir erstmal die Gleichung durch 1/8 geteilt haben, also mit 8 multipliziert haben, sodass der Koeffizient von x² gleich 1 ist. Wir bekommen davon die Nullstellen $$x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \ \text{ und } \ x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

Diese setzen wir noch in der Gleichung von g ein, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu berechnen.

Answer 2

Wie muss der Graph von f verschoben werden, damit er genau 3 gemeinsame Punkte mit der x-Achse hat?

f ( x ) =1/8 * x^4 - x^2 - 9/8

Verschieben in Richtung y-Achse.
Der y-Achsenabschnitt ändert sich
f ( x ) = 1/8 * x^4 - x^2 + z

Die Funktion f ( x ) ist achsensymmetrisch zur
y-Achse
f ( x ) = f ( -x )

da heißt : eine postive Nullstelle von F ( x )
auf der x-Achse ( z.B. ( 3 | 0 ) ) hat auch eine
Nullstelle bei ( -3 | 0 )
Damit eine ungerade Anzahl von Nullstellen
vorhanden ist muß es eine Nullstelle bei
( 0 | 0 ) geben.

f ( 0 ) = 1/8 * 0^4 - 0^2 + z  = 0
z = 0

f ( x ) = 1/8 * x^4 - x^2
ist die gesuchte Funktion.

Das stimmt alles ist aber zu trickreich.

Comments

Alles klar! Das kann ich jetzt besser nachvollziehen! 

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Für diesen Dank gibt es auch noch eine
Skizze
blau : Ausgangsfunktion
rot : verschobende Funktion mit 3 Nullstellen

Answer 3

> m=3/8

Schneidet bei x=-3 die x-Achse.

Ist drei Enheiten später (bei x = 0) negativ. Die Gerade fällt also.

Du hast einen Vorzeichenfehler.

> dass die Geradengleichung falsch sein muss

Ja, siehe oben.

> Schnittpunkt mit der y-Achse und gleichzeitig Hochpunkt liegt bei H (0|-9/8)

Verschiebe so, dass der Punkt auf der x-Achse liegt.