Grenzwert finden mit Hilfe der 3. Binomischen Formel

Question

ich habe folgende Grenzwertaufgabe (lim n → unendlich)  mit der ich nicht weiter komme: 

$$ \frac { \sqrt { { n }^{ 4 }+{ n }^{ 3 }+1 } -\quad \sqrt { { n }^{ 4 }-{ 2n }^{ 2 }+3 }  }{ n } $$

Als  Tipp zur Aufgabe, wird empfohlen mit der 3. Binomischen Formel zu erweiteren:

$$ \frac { \sqrt { { n }^{ 4 }+{ n }^{ 3 }+1 } -\quad \sqrt { { n }^{ 4 }-{ 2n }^{ 2 }+3 }  }{ n } *\quad \frac { \sqrt { { n }^{ 4 }+{ n }^{ 3 }+1 } +\quad \sqrt { { n }^{ 4 }-{ 2n }^{ 2 }+3 }  }{ \sqrt { { n }^{ 4 }+{ n }^{ 3 }+1 } +\quad \sqrt { { n }^{ 4 }-{ 2n }^{ 2 }+3 }  } $$
Nach etwas umformen und zusammen ziehen komme ich auf:
$$\quad \frac { { n }^{ 3 }+{ 2n }^{ 2 }\quad -2 }{ n\left( \sqrt { { n }^{ 4 }+{ n }^{ 3 }+1 } +\quad \sqrt { { n }^{ 4 }-{ 2n }^{ 2 }+3 }  \right)  }$$
Aber ab hier komme ich nicht weiter kann mir jemand einen Tipp geben ?
     

Answer 1

Hallo Skei0,

kürze einfach durch \(n^3\). Dann erhältst Du:

$$\lim_{n \to \infty} \frac { { n }^{ 3 }+{ 2n }^{ 2 }-2 }{ n\left( \sqrt { { n }^{ 4 }+{ n }^{ 3 }+1 } +\sqrt { { n }^{ 4 }-{ 2n }^{ 2 }+3 }  \right)  }$$

$$\space = \lim_{n \to \infty}\frac{1 + \frac{2}{n} - \frac{2}{n^3}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} +\frac{1}{n^4}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^4}}}$$

$$\space = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac12$$

Gruß Werner

Comments

Werner vielen dank für deine Antwort. Für den Zähler ist mir alle klar aber beim Nenner stehe ich immer noch etwas auf dem Schlauch. Hast du hier nicht n⁴ gekürzt? 

Grüße Skei0

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Wenn du es einfach haben willst rechnen oben und unten ², dann hast du keine Wurzel mehr und kannst durch das höchste n teilen.

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Achja zu Werners Antwort, was ist denn die Wurzel aus n⁴  mit n multipliziert, vielleicht verstehst du dann wie er darauf gekommen ist.

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Hallo Plebo! Versuch doch mal, deinen Vorschlag etwas detailierter darzustellen, einfach finde ich das irgendwie nicht.

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Du fragtest: "Hast du hier nicht \(n^4\) gekürzt?" Nein - sondern durch \(n \cdot \sqrt{n^4} = n^3\)

Ich mache es mal an der ersten Wurzel im Nenner \(N\) fest - es ist

$$\begin{aligned}N &= n \left( \sqrt{n^4 + n^3 + 1}+ ...\right) \\&= n \left( \sqrt{n^4(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^4})}+ ...\right) \\&= n \left( \sqrt{n^4} \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^4}} + ...\right) \\&= n \cdot n^2 \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^4}} + ...\right) \\&= n^3 \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^4}} + ...\right) \end{aligned}$$

... alles klar?

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ja alles klar, danke für die mühe.