Lagrange-Optimierung: Wie kann ich den stationären Punkt an f(x,y)=x^2 + y^2 errechnen?

Question

Ich habe hier noch eine Frage zu einer Aufgabe im Bereich der Lagrange-Optimierung.

Bedingung für einen stationären Punkt ist ja, dass die ersten partiellen Ableitungen der Argumente, bei einsetzen der Koordinaten Null ergeben.

fx(x,y)=2x und fy(x,y)=2x, das heißt es kommt eigentlich nur P(0/0) in Frage oder nicht? Diese Stelle ist allerdings nicht möglich da die Gleichung x + y^2 = 3 erfüllt sein muss.

Answer 1

Ansatz:

$$ x+y^2 =3$$
$$ 0=x+y^2 -3$$
$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$
$$\Lambda (x,y,\lambda)=  x^2+y^2 - \lambda  (x+y^2 -3)$$

jetzt partiell ableiten und die Nullstellen der Ableitungen bilden.

Comments

Wann verwendet man eigentlich „+“ und wann „-„ zwischen Zielfunktion und Lampda(Nebenbedingung)?

---

Es ist völlig egal ob du plus oder minus nimmst. Beim Lösen des Gleichungssystems erhält Lambda dadurch eventuell nur ein anderes Vorzeichen.

Auch die Nebenbedingung kannst du ja mit -1 multiplizieren. Auch das macht nichts aus.

---

Ich bekomme es einfach nicht hin, das Gleichungssystem zu lösen.

Ich habe drei Unbekannte und nicht nur zwei. Wenn ich nach einer Unbekannten auflöse, ist diese immer noch durch Lampda definiert.

---

Du kannst zwei Gleichungen nach Lambda auflösen und diese gleichsetzen und nach einer Unbekannten auflösen. Das dann in die Nebenbedingung einsetzen. Das sollte eigentlich gehen.

---

Ich habe Lampda jetzt durch die PQ-Formel erhalten, allerding zwei Werte. Wenn ich beide in den partiellen Ableitungen von x und y verwende, und in die Bedinung einsetze, geht diese nicht auf.

---

Ly stimmt bereits nicht. Das hättest du wohl mit Wolfram prüfen können.

Answer 2

L = x^2 + y^2 - k·(x + y^2 - 3)

L'x = 2·x - k = 0 --> k = 2·x

L'y = 2·y·(1 - k) = 0 --> y = 0 ∨ k = 1

x + y^2 - 3 = 0

y = 0

x + 0^2 - 3 = 0 --> x = 3

k = 1

2x = 1 --> x = 1/2

1/2 + y^2 - 3 = 0 --> y = - √10/2 ∨ y = √10/2

Prüfen mit Wolfram

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+x%5E2%2By%5E2+with+x%2By%5E2%3D3

Schaut also gut aus.