3 Aufgaben: 1 Ablieutungen von Funktionen mit Sinus und Cosinus + Vereinfachen.

Question

Aufgabenstellung
Bilde die 1. Ableitung von x ↦ y und vereinfache danach das Ergebnis.

a) y = sin(x) * cos(x)+x
b) y = 2x - sin(2x)
c) y = 3sin^{2}(x) - cos^{2}(x)

Lösung gem. Heft
a) y' = 2cos^{2}(x)
b) y' = 4sin^{2}(x)
c) y' = 4sin2x

Problem
a) f(x) = sin(x) * cos(x)+x

Ich leite per Produktregel ab und komme so auf:

f'(x) = cos(x)*(cos(x)+x) + sin(x)*(-sin(x)+1) I Distributivgesetz

       = cos^{2}(x) + x*cos(x) + (-sin^{2}(x) + sin(x)) I Klammer auflösen

       = cos^{2}(x) + x*xos(x) -sin^{2}x + sin(x)

Von hier komme ich nicht auf die Lösung. 
Und beim letzten Schriff "Klammer auflösen bin ich mir der Korrektheit nicht sicher"


b) f(x)=2x - sin(2x)
Hier verwende ich die Summenregel und die Kettenregel

f(x)' = 2 - (-cos(2x)*2)

       = 2 - (-2cos(2x))

       = 2 + 2cos(2x)

       = 2cos(2x) + 2

Von hier kann ich auch nicht auf die oben genannte Lösung vereinfachen.


c) Fehlt mir komplett der Ansatz. 

Nachbemerkung: Ich habe auch den  "Ableitungsrechner" im Web verwendet, der kommt auch nicht auf die Lösung. Mich interessiert viel mehr, wo ich den Fehler gemacht habe und wie ich dort weiterkomme. 

Comments

zu b) Die Ableitung von sin(2x) ist +2cos(2x). Such mal in der Formelsammlung einen Ausdruck für 1-cos(2x) oder nur cos(2x).

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Formelsammlung gefunden:

co2a = cos^{2}a - sin^{2}a = 2cos^{2}a - 1 = 1 -2sin^{2}a


Meinst du das ?

Und das setzt man nun für die ersten zwei Terme in meinem Ableitungsrechenweg ein, oder?

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Erstmal das Vorzeichen korrigieren und dann mit dieser Formel einsetzen.

Answer 1

a) f(x) = sin(x) * cos(x)+x
f(x) = [sin(x) * cos(x)] + x

cos * cos + sin * -sin + 1
[ cos ( x ) ] ^2 - [ sin ( x ) ] ^2 + 1

Ich kann also die angegebene Lösung
nicht bestätigen.
Mein Matheprogramm meint das auch.

Ist ansonsten alles klar ?

Comments

Vielen Dank georgborn!

Ich schaue es gleich an, du hast mir aber glaube ich mit den Klammern genau das gezeigt, was ich missachtet habe.

Wenn ich es probiert habe, schreibe ich hier einen Kommentar.

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So ich habs! :) 

Missachtet habe ich: Punkt vor Strich

Das Merke ich mir in Zukunft und ich merke mir auch, dass ich die Additionstheoreme beachte. 

Gruss und dankeschön!

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Und jetzt noch eine Verständnisfrage.
Wie kommst du von
cos ^2 ( x ) - sin^2 ( x ) + 1 auf
2 * cos ^2 ( x )

( Wenn es dir geläufig ist :
trigonomischer Pythagoras )

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Ist das nicht ein Additionstheorem:

cos(2a) = cos^{2}a - sin^{2}a = 2cos^{2}a - 1 = 1 - 2sin^{2}a

Während der trig. Pythagoras so aussieht?

sin^{2}a + cos^{2}a = 1

Die Anwendung vom trig. Pythagoras habe ich hier in der Aufgabe b, jedoch falsch siehst du, wo ich den fehler gemacht habe ?

f(x) = 2x - sin(2x)
LSG: y'= 4sin^{2}x

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Hallo immai,

Während der trig. Pythagoras so aussieht?
sin^2 (a) + cos^2 (a) = 1

Anwendung in
cos ^2 ( x ) - sin ^2 ( x ) + 1
jetzt die 1 ersetzen
cos ^2 ( x ) - sin ^2 ( x ) + ( sin^2 (x) + cos^2 (x) )
2 * cos ^2 ( x )

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Ahh, klar. Perfekt! Ich sehe es !

Answer 2

c) y = 3sin²(x) - cos²(x) 

y'=3·2sin(x)cos(x) -2cos(x)sin(x)=4sin(x)cos(x)=(Formelsammlung)2·sin(2x)

Demnach ist die gegebene Lösung nicht ganz richtig.

Comments

Danke, 

Hast du irgendwas über die a) und b) entdeckt?

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a) y = sin(x) * cos(x)+x 

y'=cos²(x)-sin²(x)+1=cos²(x)+(1-sin²(x))=2·cos²(x).

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Ok du stellst meinen letzen schritt in etwa um, wenn ich das richtig verstanden habe jedoch bleibt bei mir nicht

y'=cos^{2}(x)-sin'(2)(x)+1

übrig, sondern ich kriege folgendes

cos^{2}(x)-sin'(2)(x) + cos(x)*x + sin(x) 

wie mache ich aus  

cos(x)*x + sin(x) = 1?

Bild 

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Welchess Theorem ist es hier ? Ich denke dass ich die Ableitung eigentlich gut gemacht habe.

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Der Summand x gehort nicht in Anwendung der Produktregelsondern muss extra abgeleitet werden.

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Ich stelle nicht um, sondern ersetze 1-sin²(x) durch cos²(x).

Answer 3

a) y = sin(x) * cos(x) + x

y' = cos(x) * cos(x) - sin(x) * sin(x) + 1
y' = (cos(x))^2 - sin(x))^2 + 1
y' = (cos(x))^2 - (sin(x))^2 + (sin(x))^2 + (cos(x))^2
y' = 2 * (cos(x))^2

Du hast bei a) die Regel "Punkt vor Strich" mißachtet.