Exponentialgleichungen Bsp. b) x^{lgx} = 10?

Question

a) lg (x²) = 1

b) x^lgx = 10

Was kommt bei diesen zwei Gleichungen raus? Bitte die Rechenschritte Stück für Stück erklären. Danke euch schon mal im Voraus.

Answer 1

LG(x^2)=1 |10^{...}

x^2=10

x=±√10

x^{LG[x]}=10 |LG(...)

LG(x)*LG(x)=LG(10)=1

(LG(x))^2=1

LG(x)=±1

x_(1)=10, x_(2)=1/10

Answer 2

lg  (x^2)=1

2*lg(x)=1

lg(x)=1/2

10^{lg x}=10^{1/2}

x=√10

Comments

Immerhin halb richtig.

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lg(x²) = 1             D = ℝ \ {0}

2 * lg( |x| )=1

lg(|x|)=1/2

10 ^lg(|x|) = 10^1/2

|x| = √10

x = ±√10

Answer 3

Hallo moonlight,

b)

lg(10) = 1  ;   lg( 1/10)  = -1

x^lg(x) = 10  ⇔   x = 10  oder  x = 1/10

Nachtrag:

Die Begründung für ⇔  findest du in meinem Kommentar

Gruß Wolfgang    

Comments

@ml :

Wenn du Wolfgangs Text abschreibst, wirst du ein "zu ⇒ fehlt die Begründung" erhalten.

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@hj2166

Wie wäre es, wenn du deine vermeintlich korrektesten Weg veröffentlichst, anstatt auf anderen rumzuhacken?

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Zu Kommentar hj2166

> ... wirst du ein "zu ⇒ fehlt die Begründung" erhalten.

Das ist natürlich nicht unwahrscheinlich. Dann liefern wir die Begründung mal nach:

x^lg(x) = 10              D = ℝ⁺  

           lg auf beide Seiten der Gleichung anwenden:

⇔  lg( x^lg(x) )  = lg(10) = 1

           Logarithmengesetz  log(a^r) = r·log(a)  für a>0 :  

⇔  lg(x) · lg(x) = 1 

⇔ [ lg(x) ]² = 1   | √  

⇔  | lg(x) |  = 1

⇔  lg(x) = 1  oder lg(x) = -1

⇔    x = 10   oder x = 1/10 

@Anton

Die Kritik von hj2166 ist berechtigt und ich habe sie nicht als "auf mir Herumhacken" empfunden.  Ich wurde beim Antworten durch meine kleine Enkelin gestört und das geht allem anderen vor!

Ich hätte das sowieso nachgeliefert.

@hj2166

Trotzdem danke für den Hinweis.

Auf deinen Kommentar hätte ich während des Spielens mit der Kleinen schon eine Wette abschließen können :-)

Deshalb habe ich vor dem Fertigstellen meiner Antwort zuerst bei Koffi kommentiert.

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$$⇔ [ lg(x) ]2 = 1  | √  $$

Also bis dort komm ich ja noch mit aber irgendwie steht ich grad bissl aufm Schlauch.

Kann mir mal einer vielleicht nochmal für dummies den Rest erklären?

$$⇔  | lg(x) |  = 1\\ ⇔  lg(x) = 1 \: oder\: lg(x) = -1\\ ⇔    x = 10  oder x = 1/10$$