Zeige, dass Kalorina einen Speiseplan für 183 Tage erstellen kann, bei dem sie jeden Tag 11 verschiedene Speisen isst.

Question

Aufgabe:

Kalorina verwahrt in ihrem Kühlschrank 2013 Speisen verschiedener Sorten. Von keiner Sorte sind mehr als 183 Stück vorhanden. Man zeige, dass Kalorina einen Speiseplan für die nächsten 183 Tage erstellen kann, bei dem sie jeden Tag 11 Speisen verschiedener Sorten isst.

Ich bräuchte einen sinnvollen Ansatz bzw. Weg wie diese zu lösen ist.

Comments

Das ist eine Aufgabe der aktuellen Mathe-Olympiade!

Es ist wünschenswert, dass zumindest die sehr aktiven Helfer sich mal die Aufgaben anschauen, bevor sie die Komplettlösungen posten.

Hier ein Link zu den Aufgaben: http://www.gsglebach.de/fileadmin/Dokumente_und_Grafiken/MaOly/MO531_Aufgaben_5-12.pdf

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Bitte stelle Zusatzfragen zur eigentlichen Aufgabe.

Es genügt nicht nur zu zeigen das mind. 11 Speisen vorhanden sind. Das wurde aber auch nicht gemacht. Wenn ich nur 11 Speisen hätte und von einer weniger als 183 hätte ich ein Problem. Das kann aber nicht sein weil ich dann von einer der anderen 10 Speisen mehr als 183 hätte und das ist nicht erlaubt. Also habe ich mind 11. verschiedene Speisen für jeden Tag und das ist es was man beweisen sollte.
Daran ändert es auch nichts wenn ich jetzt eines dieser 11 Gerichte zum Teil durch ein noch nicht vorhandenes Gericht ersetze.

Answer 1

es genügt zu zeigen, dass Karolina wenigstens 11 verschiedene Sorten von Speisen im Kühlschrank hat. Dies ist leicht einzusehen: Da sie n = 183 Tage jeweils p = 11 Speisen essen will, isst sie insgesamt N = n*p = 183*11 Speisen. Da von jeder Speise i höchstens \( q_i = 183 \) Stück vorhanden sind, gilt

\( N \geq \sum_{i=1}^{11} q_i \)

und

\( N > \sum_{i=1}^{11} q_i \),

falls sie von nur einer Speise echt weniger als 183 Stück hat.

\( N > \sum_{i=1}^{10} q_i \),

selbst, wenn sie von allen Speisen genau 183 Stück hat

Daraus folgt, dass sie wenigstens 11 Speisen im Kühlschrank hat.

MfG

Mister

Comments

Hi,
könntest du das eventuell auch für mich (9. klasse) erklären?

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Alles, was du wissen musst, ist das Summenzeichen "\( \sum \)" (heißt "Sigma" = griech. Buchstabe). Wenn da steht \( \sum_{i = 1}^{11} \), dann bedeutet das "Summiere über alle i von 1 bis 10". Ausgeschreiben steht also da:

\( \sum_{i=1}^{11} q_i = q_1 + q_2 + ... + q_{11} \).

Noch Fragen?

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Danke, ich verstehs jetzt :) doch kann man da irgendwie ohne Sigma schreiben?

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Du kannst auch die \( q_i \)'s alle 11 hintereinander schreiben :) . Oder wie oben angedeutet mit Punkten abkürzen, dass du alle \( q_i \)'s hinschreiben willst und der Leser sich denken kann, dass du von \( q_1 \) bis \( q_{11} \) addierst.

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hey ich verstehe nicht wieso die aufgabe gelöst wurde? wo wurde denn gezeigt , dass kalorina 11 verschiedene speißen für 183 tage besitzt? gibt es auch eine andere variante . die man vielleicht leicheter verstehen kann??

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Naja, das Prinzip ist: Versuche mal, verschiedene Arten von Bausteinen, von denen jeweils maximal 183 zur Verfügung stehen, so zu stapeln, dass sie eine Höhe von 11 * 183 Bausteinen erreichen. Man braucht mindestens 11 verschiedene Arten von Bausteinen.

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Könntest du erklären WARUM es genügt zu beweisen, dass min. 11 Sorten von Speisen vorhanden sind?

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Ist doch wohl klar: Weil sie dann jeden Tag 11 verschiedene Speisen auf den Speiseplan setzen kann.