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Hallo Mathematiker und Nawi-Freunde,

ich habe einige Aufgaben, bei denen ich zur Herangehensweise ratlos bin. Es geht um Gleichungssysteme mitunter 3. oder 4.Grade, einige von denen lauten folgendermaßen:

10x^5=10x^4+60x^3

nun kommt der Knaller:

(4a^2-36a+80)*(8b^2-32b+14)=0

Wie sollte ich vorgehen, um alle Lösungen der Gleichungen zu bestimmen?

Grüße,

Albert

von

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Hallo Albert,

10x= 10x+ 60x3 

⇔  10x- 10x4 - 60x3 = 0

⇔   10x3 · ( x2 - x - 6) = 0

       Nullproduktsatz:  A · B = 0  ⇔  A = 0  oder B = 0

⇔  x = 0  oder  x2 - x - 6 = 0

⇔  x = 0   oder  (x + 2)·(x - 3) = 0     [ x2 - x - 6 = 0 mit pq-Formel geht auch ]

    x1 = 0  ;  x2  = - 2  ;  x3 = 3

-------

(4a2-36a+80) · (8b2-32b+14) = 0

          Nullproduktsatz:

⇔ 4a2-36a+80 = 0    oder   8b2-32b+14 = 0

⇔  a2 - 9a + 20 = 0   oder  b2 - 4b + 7/4 = 0

zweimal  pq-Formel →

       a = 5  oder  a = 4  oder  b = 7/2  oder  b = 1/2

Gruß Wolfgang

von 80 k

Dafür gibt es einen Daumen nach oben von mir.

Von mir auch.

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 Da sich sonst niemand erbarmt ... tu erst mal durch den ggt teilen; das gibt dann die ===> primitive Form


   x  ³  (  x  ²  -  x  -  6  )  =  0     (  1  )


    Nach dem  " Satz vom Nullprodukt "  ( wie ihr das nennt )  hast du erstmal die ( 3-fache ) Nullstelle  x3;4;5 = 0 . Und dann bleibt dir noch die quadratische Gleichung ( QG )


     x  ²  -  p  x  +  q  =  0      (  2a  )

      p  =  1  ;  q  =  (  -  6  )    (  2b  )


    Deine Lehrer erwarten, dass du die Mitternachtsformel ( MF ) drauf hast - weil sie sonst nix Besseres wissen.    Ohne mich gäbe es eh keinen Fortschritt.

   Ich mache das mit dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) ***Unsinn entfernt (Unknown)***

    Polynom ( 2ab ) ist normiert; der SRN lässt ausschließlich ganzzahlige Wurzeln zu - das ist der Witz. Vieta das geschmähte Stiefkind; Vieta q


      q  =  x1  x2  =  (  -  6  )       (  3  )


     Du hast bitte verstanden:  In ( 3 )  sind sämtliche GANZZAHLIGEN Zerlegungen der 6 gefragt.  Da ist die Auswahl nicht allzu groß; es gibt die triviale Zerlegung 6 = 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 2 * 3 .  Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer Vieta p


       p  =  x1  +  x2      (  4a  )

   |  x1  |  =  1  ;  |  x2  |  =  6  ;  |  p  |  =  5      (  4b  )

  |  x1  |  =  2  ;  |  x2  |  =  3  ;  |  p  |  =  1      (  4c  )   ;  ok


    Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen;  wegen p > 0  in ( 2b ) muss die betragsgrößere Wurzel positiv sein:


       x1  =  (  -  2  )  ;  x2  =  3      (  4d  )


    Jeder fängt mal klein an;  dein zweites Beispiel, das du als " Knaller " einstufst, vermag dem Fachmann nur ein müdes Grinsen zu entlocken. Geh wieder über den Satz vom Nullprodukt

   " Die linke Klammer ist Null oder die rechte. "

   Gemeont ist das matematische, das einschließliche Oder, nicht das Entweder-Oder der Alltagssprache.

   Und da wir schon dabei sind; ***unpassender Vergleich entfernt (Unknown)***, heißt es nicht " Satz vom Nullprodukt " , sondern ===> Nullteiler Freiheit ( von ===> Zahlenkörpern )

   In Normalform schreibt sich die linke Klammer


     f  (  a  )  =  a  ²  -  p  a  +  q  =  0       (  5a  )

      p  =  9  ;  q  =  20          (  5b  )


   Scheinbar ist die Zerlegung der 20 recht unübersichtlich mit 20 = 2 ² * 5 . Doch was uns rettet: x1;2 sind TEILER FREMD .

   Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder?

   Machen wir erst mal fertig; Teiler fremd bedeutet: Du darfst das Zweierpäckchen niemals aufschnüren. Für uns gibt es nur die triviale Zerlegung 20 = 1 * 20 so wie die nicht triviale 20 = 4 * 5 . Doch wegen q > 0  in ( 5b ) bekommen wir eine Zweideutigkeit, weil doch " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt. Hierfür wurde die cartesische Vorzeichenregel erfunden

    " Zwei Mal Plus "


     a1  =  1  ;  a2  =  20  ;  p  =  21      (  6a  )

    a1  =  4  ;  a2  =  5  ;  p  =  9        (  6b  )       okay


    Wie war das jetzt mit dem ggt? Der SRN muss immerhin so neu sein, dass vor mir überhaupt noch niemand auf die Idee kam, die nahe liegende Frage zu stellen, was ggt a1;2 sein könnte. Sei m ein Teiler; dann folgt abermals aus dem Vieta von   ( 5a )


     m  |  a1;2  <===>  m  |  p  ;  m  ²  |  q       (  7a  )


    Ein m, das die rechte Seite von ( 7a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms  f in ( 5a ) heißen -  " K "  wie " Koeffizient "

  Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; unsere Behauptung in ( 5a )


    ggt  a1;2  =  gkt  (  f  )     (  7b  )


   Noch zum SRN ; der ist noch so neu, dass du ihn nirgends richtig zitiert findest - der SRN hat doch nur  Sinn für ===> primitive Polynome ( Warum !!! ??? )

   Wir  Schüler  kannten noch die Frage

   " Ist es auch heute noch möglich, dass etwas entdeckt wird, was einerseits eben so leicht verständlich ist wie Pi und andererseits für Schüler so wichtig? "

   Ja; noch in der Woche im Jahre 2011, als ich vom SRN erfuhr, habe ich folgenden Zerlegungssatz entdeckt und bewiesen:

    ZERLEGUNGSSATZ

   ========================

   Sei


             a2  b  ²  +  a1  b  +  a0  =  0       (  8a  )

               a2  =  4  ;  a1  =  (  -  16  )  ;  a0  =  7     (  8b  )


     ein primitives Polynom  und b1;2 seine Nullstellen


      b1;2  :=  p1;2  /  q1;2  €  |Q       (  9a  )


     b1;2 seien wie üblich als gekürzt voraus gesetzt. Dann gelten die beiden Habakuk pq-Formeln


        p1  p2  =  a0  =   7      (  9b  )

         q1  q2  =  a2  =  4       (  9c  )


      ==========================================


       Mit ( 9c ) sind alsi nur vereinbar


        Ganze  <===>  Viertel           (  10a  )

         Halbe  <====>  Halbe        (  10b  )


       Abermals gelingt es uns, das Problem durch geschicktes Raten zu lösen.  Schreib mal ( 8ab )  in Normalform


          b  ²  -  p  b  +  q  =  0        (  11a  )

          p  =  4  ;  q  =  7/4     (  11b  )

         p  =  b1  +  b2      (  11c  )


         ( 11c  ) ist wieder die  Identität für Vieta p .  Dann können aber in ( 10a;11c )  "  Ganze + Viertel  "  niemals wieder Ganze ergeben  ( gefordert: p = 4 ! )   Da ja 7  in ( 9b ) eine Primzahl ist, überlebt als einzige Möglichkeit


      b1  =  1/2  ;  b2  =  7/2       (  12  )


     Trotzdem musst du  hinterher nochmal explizit die Probe machen auf ( 11c )    Denn wer sagt uns, dass es tatsächlich rationale Wurzeln gibt?

   Weißt du was ich pädagogisch Wert voll finde an meiner Entdeckung?  Dass sie Schüler endlich mal erzieht, was der Unterschied ist zwischen Rational und Irrational.

    Solltest du dich aber entscheiden, lieber über die Mitternachtsformel ( MF )  zu gehen, hast du immer folgende Probe:

     1) Bilde die primitive Form

     2) Prüfe nach, ob die beiden Habakuk pq-Identitäten erfüllt sind - wenn ja, dann ist schon fast sicher, dass du richtig gerechnet hast.

   3) Bilde die Normalform ( bzw. hast du ja  bereits von der MF her. )

     4) Prüfe die Bedingung Vieta p nach. Fertig.

   Weißt du, was paradox ist an meiner Entdeckung bzw. dem ganzen SRN geschäft? 1966 bei unserer Frau Gumboldt  fragte ich mich konstant , " warum die uns keine Probe auf quadratische Gleichungen zeigt " ...

von 5,5 k

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