einer der beiden Faktoren habe die Form \((x^2 + px + q)\). Wenn die Summe zweier Nullstellen von \(p(x)\) gleich 2 ist, so muss nach dem Satz von Vieta \(p=-2\) sein. Nach einer Polynomdivision erhält man $$\frac{x^4 + 12x - 5}{x^2 -2x + q} = x^2 +2x + \frac{(4-q)x^2 +(12-2q)x -5}{x^2 -2x + q}$$
Damit aus dem letzten Bruch eine Zahl \(z\) wird, die unabhängig von \(x\) ist, muss gelten $$ \begin{aligned} 4-q &= 1 \cdot z \\ 12 - 2q &= (-2) \cdot z \\ -5 &= q \cdot z \end{aligned}$$
Einsetzen der ersten Gleichung in die dritte gibt \(-5 = q(4-q)\) mit den Lösungen \(q_1=5\) und \(q_2=-1\). Berechnet man daraufhin das entsprechende \(z\) und setzt es in die mittlere Gleichung ein, so bleibt das Paar \(q=5\) und \(z=-1\), welches alle drei Gleichungen erfüllt. Demnach ist
$$x^4 + 12x - 5 = (x^2 + 2x +z)( x^2 -2x +q) = (x^2 + 2x -1)( x^2 -2x +5) $$
