Reguläres dreiseitiges Prisma mit Abgeschnittener Hälfte

Question

Die Figur ein reguläres, dreiseitiges Prisma, das am rechten Ende schief abgeschnitten wurde. Berechnen Sie aus den folgenden Massen das Volumen dieses Prismatoids:

AB = BC = AC = 8cm

AD = 21 cm BE = 27cm CF = 17cm

Hier verstehe ich nicht, wie ich das berechnen soll.

Comments

Ist in dem Fall die Grundfläche, die Fläche ADEB oder ABC?

Ich würde ABC vermuten

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@Smitty: Wenn du ABC als Grundfläche anschaust, sind Deck- und Grundfläche nicht parallel und du kannst die Formel von Simpson nicht so einfach einsetzen wie hier https://www.mathelounge.de/531662/volumen-eines-prismatoides-berechn…

Answer 1

Hallo Sliverdart,

das entscheidende hier, ist die Tatsache, dass die parallelen "Flächen" nach dem Abschneiden vom Prisma jetzt andere sind als vorher. Die Grundfläche $ABC$ des Prismas ist nun zu gar nichts mehr parallel, da ihre korrespondiere Deckfläche abgeschnitten wurde. Es bleibt aber die Kante $CF$, die parallel zur (neuen) Grundfläche $ADEB$ liegt. Ein Bild sagt hier mehr als tausend Worte.

Klick auf das Bild und rotiere die Figur in Geoknecht3D mit der Maus. Dann erhältst Du einen guten räumlichen Eindruck. Mit der Parallelität von $CF$ zu $ADEB$ liegt wieder ein Prismatoid vor und es bleibt, die drei Flächen und die Höhe zu bestimmen. Die Höhe $h$ ist die Höhe des Punktes $C$ über der Grundfläche $ADEB$ und ist damit identisch mit der Höhe im gleichseitigen Dreieck $\triangle ABC$. Also ist

$$h = \frac12 \sqrt{3} \cdot |AB| = \frac12 \sqrt{3} \cdot 8 = 4\sqrt{3} \approx 6,928$$

Die Deckfläche $A_D$ ist die Kante $CF$ und damit ist $A_D=0$. Für die verbleibenden zwei Flächen zunächst eine Skizze von oben

Die Grundfläche $A_G$ ist das Trapez $ADEB$, was mit der Flächenformel für Trapeze berechnet werden kann.

$$A_G = \frac{|AB|}{2}(|AD|+|EB|) = \frac{8}{2}(21 + 27) = 192$$

Die mittlere Fläche $A_M$ ist ebenfalls ein Trapez. Ich habe das hier mit den gelben Punkten markiert: $PQRS$. Jeder dieser Punkte liegt jeweils in der Mitte zweier Eckpunkte des Prismatoiden. So ist $P$ die Mitte von $AC$ und $Q$ die Mitte von $DF$. Das heißt auch, dass $PQ$ die Mittelparallele des Trapez $ADFC$ und $SR$ die Mittelparallel von $CFEB$ ist. Damit kann man nun $A_M$ als Fläche des Trapez $PQRS$ berechnen:

$$A_M = \frac{|PS|}{2}(|PQ|+|SR|) = \frac{4}{2}(19 + 22) =82$$

Jetzt nur noch in die Volumenformel einsetzen:

$$V = \frac{h}{6}(A_G + 4\cdot A_M + A_D) = \frac16 4\sqrt{3} (192 + 4\cdot 82 + 0) = \frac{1040}{3} \sqrt{3} \approx 600,4$$

Answer 2

Grund- und Deckfläche müssen parallel zueinander sein für deine Simpson-Regel.

Daher ist

 die Grundfläche z.B.  ADEB. Fläche: (27 + 11)/2 * 8

Und die Deckfläche die Strecke CF (Fläche: 0) .

usw.

Höhe kannst du übrigens mit dieser Formel (gleichseitige Dreiecke) bestimmen: http://www.mathematik-wissen.de/gleichseitiges_dreieck_flaecheninhal…

Comments

Ich verstehe nur nicht, wie ich die Höhe herausfinden soll, wenn ich dei Höhe des Dreiecks habe

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Höhe kannst du übrigens mit dieser Formel (gleichseitige Dreiecke) bestimmen: http://www.mathematik-wissen.de/gleichseitiges_dreieck_flaecheninhal…

Schau dir das Dreieck ABC an. Dort siehst du drei gleiche Seiten mit Länge 8. Somit ist  a=8 .

Somit ist h = √(3) * (8/2) = 4*√(3).

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Das ist mir bewusst, aber das ist doch dann gar nicht die Höhe des Prismatoids.

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Und warum nicht? Da sind 3 rechte Winkel eingezeichnet. Die Fläche ABC steht senkrecht der Grundfäche. Damit ist auch h_(ABC) die Höhe deines Prismatoids.

Betrachte nochmals die Skizze von Werner https://www.mathelounge.de/531662/volumen-eines-prismatoides-berechn…

So ähnlich kannst du dein Prismatoid auch anschauen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Wedge_(geometry)

Gefunden hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Prismatoid