eigenschaften komplexer zahlen: zeigen sie, dass |z * w|= |z| * |w| und |z / w|= |z| / |w|

Question

Es seien z und w komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass

1)     |z * w|= |z| * |w|

2)      |z / w|=  |z| / |w|

Danke

Answer 1

Sei z=a+bi und w=c+di dann gilt

1)     |z * w|^2  =| ac-bd + (ad+bc)*i|

                   = ( ac-bd)^2  + (ad+bc)^2

und es ist  |z| = a^2 + b^2   und  |w| = c^2 + d^2

also  ( |z| * |w| )^2

          =  ( a^2 + b^2 ) * (   c^2 + d^2 )

Wenn du die Klammern auflöst, kommt bei beiden das

gleiche Ergebnis heraus.  Also gilt

   |z * w|^2  =  ( |z| * |w| )^2

und wenn die Quadrate zweier nicht negativer reelllen Zahlen

gleich sind, dann auch die Zahlen selbst.

2)      |z / w|=  |z| / |w|  geht entsprechend, wenn du bedenkst:

z/w = (c^2 + d^2 ) * ( ac+bd + (bc-ad)*i)