Bestimmung von Funktionstermen. Funktion hat in der Nulstelle x=3 die Steigung 6 & x=0 als doppelte Nulllstelle

Question

Kann mir jemand die Bedingungen nennen für: die Funktion hat in der Nullstelle x=3 die Steigung 6 & x=0 als doppelte Nullstelle

Answer 1

die Funktion hat in der Nullstelle x=3 die Steigung 6

Nullstelle bei \(x=3\):

$$f(x=3) = 0$$

Die Steigung dort ist 6

$$f'(x=3) = 6$$

x=0 als doppelte Nullstelle

$$f(x) = g(x) \cdot x^2$$

~plot~ 2x^3/3-2x^2 ~plot~

Answer 2

Kann mir jemand die Bedingungen nennen für: die Funktion hat in der Nullstelle x=3 die Steigung 6 & x=0 als doppelte Nullstelle.

Ansatz: Nullstellen und ihre Vielfachheit in den Ansatz nehmen.

f(x) = a * x^2 * (x-3)

Steigung an der Stelle x = 3:

f '(3) = 6

Rechnung:

f(x) = a * x^2 * (x-3)

f(x) = a * x^3 -3ax^2

f ' (x) = 3a * x^2 - 6 a x

Steigung an der Stelle x = 3:
f '(3) = 6

Einsetzen in f ' (x)

6 = 3a * 9 - 6a * 3      | : 3

2 = a*9 - 6a = 3a    | :6

2/3 = a

Somit

 f(x) = 2/3 * x^2 * (x-3)

Kontrolle:

~plot~ 2/3 * x^2 * (x-3); 6x-18 ~plot~