Genau. Es gibt da zwei Zugänge; warst du schon mal in der Algebravorlesung? Du kannst nämlich den Standpnkt einnehmen: Was sind in einem beliebigen Körper K die n-ten ===> Einheitswurzeln ( EW ) ? Ein tief liegendes Teorem besagt: Sie bilden immer eine ===> zyklische Gruppe; mit |C direkt hat das garnix zu tun. Ich muss aber zugeben; ich bin da bissele raus aus dem Geschäft.
Wenn du da also wirklich Literaturrecherche betreiben willst - Artin, v.d. Waerden und Co; das Skript von Otto Haupt aus Göttimgen finde ich übrigens Mega genial - wäre nur noch zu zeigen: Im Sonderfall |C haben die EW Betrag Eins. Auf diesem Wege lernste also was Neues.
Oder du gehst den Weg; mühsam ernährt sich das Eichhörnchen. Die klassische Argumentation geht über den ===> Fundamentalsatz der Algebra. Diesen gibt es in zwei äquivalenten Fassungen:
" Jedes ( reelle oder komplexe ) Polynom spaltet über |C einen Linearfaktor ab. "
bzw.
" Jedes ..... Polynom zerfällt über |C in Linearfaktoren. "
Die n-ten EW sind Wurzeln des Polynoms
f ( z ) = z ^ n - 1 = 0 ( 1 )
Jetzt musst du aber die Vielfachheit dieser Wurzeln im Auge behalten; die Ableitung von ( 1 ) kann nur verschwinden in z = 0 ===> Sämtliche EW sind einfach.
Sie lassen sich auch konstruktiv angeben; die Lösung Nr. k für die n-te Einheitswurzel lautet
z_k ( n ) = exp ( 2 Pi k i / n ) ( 2 )
wie man sich leicht durch Nachrechnen überzeugt.
Wenn du in ( 2 ) davon ausgehst, dass die ( rein imaginäre ) e-Funktion auf dem Einheitskreis liegt, ist schon mal klar: Die E W bilden eine Teilmenge von S .
Jetzt kümmern wir uns um die algebraische Abgeschlossenheit; seien w1 und w2 zwei n-te E W . Dann folgt doch aus der Definition schon mal
w1 ^ n = 1 ; w2 ^ n = 1 ( 3a )
und aus ( 3a )
( w1 w2 ) ^ n = ( w1 ^ n ) ( w2 ^ n = 1 * 1 = 1 ( 3b )
Das ( neutrale ) Einselement wäre über jedem Körper eine ( n-te ) E W .
Jetzt die Inversen; in ( 2 ) wäre nachzurechnen
z ^ - 1 ( k ; n ) = z ( - k ; n ) ( 4 )
In der Tat ist C(n) zyklisch und wird erzeugt durch z_1 ( n )
