Es gibt eine Untergruppe Cn:={z∈C|z^n= 1}

Question

Ich soll zeigen, dass Cn eine Untergruppe von S ist, wobei Cn:={z∈C|z^n= 1} und S {z∈C:|z|= 1} .

Muss ich jetzt einfach zeigen, dass Cn ein neutrales und ein inverses Element besitzt und abgeschlossen ist oder wie mache ich das?

Answer 1

  Genau.  Es gibt da zwei Zugänge;  warst du schon mal in der Algebravorlesung?  Du kannst nämlich den Standpnkt einnehmen:  Was sind in einem beliebigen Körper K die n-ten ===>  Einheitswurzeln  ( EW )  ?  Ein tief liegendes Teorem besagt:  Sie bilden immer eine ===>  zyklische Gruppe; mit |C  direkt hat das garnix zu tun.  Ich  muss aber zugeben; ich bin da bissele raus aus dem Geschäft.

   Wenn du da also wirklich Literaturrecherche betreiben willst - Artin, v.d.  Waerden und Co;  das Skript von Otto Haupt aus Göttimgen finde ich übrigens Mega genial - wäre nur noch zu zeigen:  Im Sonderfall |C  haben die EW  Betrag Eins. Auf diesem Wege lernste also was Neues.

   Oder du gehst den Weg;  mühsam ernährt sich das Eichhörnchen.   Die klassische Argumentation geht über den ===>  Fundamentalsatz der Algebra. Diesen gibt es in zwei äquivalenten Fassungen:

   " Jedes ( reelle oder komplexe ) Polynom spaltet über |C  einen Linearfaktor ab. "

      bzw.

   "  Jedes  .....  Polynom zerfällt über |C  in Linearfaktoren. "

    Die   n-ten EW  sind Wurzeln des Polynoms

         f  (  z  )  =  z  ^  n  -  1  =  0      (  1  )

       Jetzt musst du aber die Vielfachheit dieser Wurzeln im Auge behalten;  die Ableitung von ( 1 )  kann nur verschwinden in z = 0 ===>  Sämtliche  EW  sind einfach.

    Sie lassen sich auch konstruktiv angeben;  die  Lösung Nr. k für die n-te Einheitswurzel lautet

    z_k  (  n  )  =  exp  (  2  Pi  k  i / n   )      (  2  )

    wie man sich leicht durch Nachrechnen überzeugt.

   Wenn du in ( 2 ) davon ausgehst, dass die ( rein imaginäre )  e-Funktion  auf dem Einheitskreis liegt,  ist schon mal klar:  Die E W  bilden eine Teilmenge von S  .

    Jetzt kümmern wir uns um die algebraische Abgeschlossenheit;  seien w1  und w2 zwei  n-te  E W  . Dann folgt doch aus der Definition schon mal

      w1  ^  n  =  1  ;  w2  ^  n  =  1        (  3a  )

      und aus ( 3a )

     (  w1  w2  )  ^  n  =  (  w1  ^  n    )  (  w2  ^  n  =  1  *  1  =  1    (  3b  )

    Das ( neutrale ) Einselement wäre über jedem Körper  eine ( n-te )  E W   .

   Jetzt die Inversen;  in  ( 2 ) wäre nachzurechnen

     z  ^  - 1  (  k  ;  n  )  =  z  (  -  k  ;  n  )        (  4  )

     In der Tat ist C(n) zyklisch und wird erzeugt durch  z_1 ( n )

Comments

Also ich habe das jetzt mittlerweile selber versucht mit dem Untergruppenkriterium, weiß aber nicht ob das so stimmt.

Zuerst ist C_n ja nicht leer, da z ∈ℂ und zⁿ=1.

nun habe ich das Untergruppenkriterium angewendet. Seien z₁, z₂ ∈C_n und sei C_n eine Untergruppe. Dann ist

z₁ⁿ○(z₂ⁿ)^-1=z₁ⁿ*(z₂ⁿ)^-1=z₁ⁿ*(1/z₂ⁿ)=1*1=1 ∈ C_n.

Somit gilt z₁ⁿ○(z₂ⁿ)^-1∈C_n und ich bin fertig.

oder kann ich das so nicht machen?

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 Ih bin skeptisch.  Zu zeigen ist:  C ( n ) ist Untergruppe von S    .   Es reicht nicht zu zeigen, dass diese Menge nicht leer ist;    du müsstest schon plausibel machen, dass sämtliche E W in S liegen.   Denn nur dann liegt ja eine Untergruppe von  S  vor.

     Der einfachste Weg:  Du gibst die E W  explizit an, so wie ich das in meinem ( 2 ) gemacht habe. Es sind genau n Stück.

    Danach magst du mit deinem Untergruppenkriterium die Untergruppeneigenschaft nachweisen.