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Heyy,

kann mir wer helfen die Aussagen zu beweisen oder zu widerlegen, hab meine ideen bereits darunter geschrieben

1)hat ein homogenes GS mehr Unbekannte als Gleichungen, hat es unendlich viele Lösungen 

Meine Vermutung ist ja, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll...+


2) hat ein inhomogenes GS mehr Unbekannte als Gleichungen, hat es unendlich viele Lösungen.

Die Aussage ist wahr, da m<n , aber wie beweise ich das?

3) hat ein homogenes GS mehr Gleichungen als Unbekannte, hat es keine Lösungen

Meine Vermutung , dass das falsch ist , da ein homogenes GS immer mind eine LSG x=0 hat.


danke für eure Hilfe

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Hallo Balle,

wenn man bei 2) mehr Unbekannte als Gleichungen hat, können sich trotzdem 2 davon widersprechen, weil nicht alle Unbekannte in jeder Gleichung vorkommen müssen. Dann hat man keine Lösung. (vgl. Kommentar)

(Edit. bei 1) ist das nicht möglich, vgl. Antwort von Roland)

3) ist richtig

Gruß Wolfgang

Beantwortet von 75 k

hallo Wolfgang bzgl 1.) und 2.) bin ich jetzt verwirrt ..

Kannst du mir das genauer erklären?

Bei 1) hat Roland recht, die Aussage ist wahr.

2)

Ein LGS

x + y = 2

2x + 2y = 5

und beliebig viele weitere Gleichungen mit beliebig vielen weiteren Unbekannten hat

keine Lösung.

ahh, okay . jetzt hat es klick gemacht .

eine Frage hätte ich dann noch.

Ich hab nämlich auf mehreren seiten gefunden dass m<n also mehr unbekannte als gleichungen unendlich viele Lösungen ergibt.

Wiissen sie, warum die das geschrieben haben??

gilt das nur für spzielle fälle

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Zu 1) Aus jedem Gleichungssystem wird mit einer Gleichung auch eine  Unbekannte eliminiert und umgekehrt, sodass immer mindestens eine Unbekannte mehr als  Gleichungen stehen bleiben. Auf diese Weise hat auch ein vollständig reduziertes Gleichungssystem immer noch eine Gleichung mit mindestens zwei Unbekannten. Diese letzte Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

Beantwortet von 42 k

gleiches gilt doch dann auch für 2.) oder??

Nein, das gilt nicht für 2)

vgl. Kommentar bei meiner Antwort

bei 1) hat Roland recht

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   Zu deinen Gleichungen möchte ich eine Anekdote voraus schicken.  Unser Prof in der  " D&I  2  "  war  " Norbert  "  , der es innerhalb von drei Tagen verstand, sich die Sympatie sämtlicher Studenten zu erwerben.  Gibt es sowas wie "  Minus c t ?  "

   Um 8 h c t begann seine Vorlesung; um 7h45  nahm er jeden Morgen auf der Marmorbank vor dem Hörsaal Platz und bat seine Hörer zu sich. Dann begann er Smalltalk  mit Dreien von uns,  wechselte den Personenkreis aber jeden Tag:

   "  Was ist Ihr Hobby?  Was haben Sie gestern im Fernsehen gesehen? "

   Du konntest ihm auch etwas Beliebiges berichten - er griff jedes Tema auf.   Im Gegensatz zu seinen Kollegen war er sich auch nicht zu schade, Witze über Matematik zu reißen.  Gleichwohl blieb immer klar,  dass Mathe für ihn eine tot ernste Sache war.  So sagte er mal in einer Vorlesung

   " Ich nahm mal Teil an einem Seminar,   wo das Innengebiet von Körpern im  |R  ^  n  formal definiert wurde.  Am Ende der Veranstaltung hatte ich völlig vergessen,  dass ich mich

   1) im Innengebiet des Hörsaals befinde

   2) die Mensa im außengebiet

    3)  und um in jenes  Außengebiet zu gelangen, ich die Türklinke betätigen muss -  die ist nämlich topologisch nicht definiert ... "

      fFr mich war ausgemacht,  dass ich meine Vordiplomprüfung bei Norbert machen würde 

   (  Gott sei Dank kannte Frankfurt keine Klausuren. )

   "  Herr T;  bei dem schönen Wetter würden Sie doch jetzt was andres machen als Prüfung.  Darf ich fragen was? "

    "  Schwimmen gehen. "

    "  Bier trinken. "

    "  Herr Professor;  Ihr Kollege machte uns seiner Zeit das Angebot:  Wer sich freiwillig  für  Funktionenteorie  ( FT ) meldet statt D & I  , kriegt eine Note besser, als er verdient. "

   "  Geht in Ordnung.    Dann prüfe ich eben die Querverbindungen zwischen D&I und FT.

   Aber fangen wir mit  AGULA  an. "

   (  Er wollte mir auf den Zahn fühlen; hielt mich für einen Drückeberger -  wo doch grade  AGULA für mich ein ausgesprochenes  Heimspiel wurde. )

    Was hat das Ganze überhaupt mit  deiner Frage zu tun?  Er begann gleich mit dem Wichtigsten,  den Lösungssätzen für  LGS .  Gehrsam und brav rezitierte ich auch,  n Gleichungen, k Unbekannte.  Da unterbricht er mich

   "  Beschränkensich  auf den quadratischen  n  X  n  Fall.  Es könnte nämlich sein,  dass ich  DIE  AUSSAGEN FÜR DEN ALLGEMEINEN FALL VERGESSEN HABE ... "

   Genau so war er -  Nonchalant; ein Original.   Ein Prof von altem Schlage. Der wusste noch, was er wert war   und brauchte darum nicht  aller Welt zu beweisen, dass er alles besser  wusste.

    Die Grundgleichung zur Beantwortung deiner Fragen  lautet


       Rang  (  A  )  +  dim  Kern  (  A  )  =  n         (  1  )


      Ferner wäre da noch die äußerst wichtige


        Zeilenrang  =  Spaltenrang          (  2  )


     Mit  A  meine ich die Koeffizientenmatrix  (  KM  )   deines  LGS  .    n   ist die Anzahl der Unbeklannten;   und Kern bezeichnet den Lösungsraum  des  homogenen  LGS .   Doch ich meine das wörtlich;  wenn du eine lineare Abbildung f  hast  von  Vektorraum  V  nach  Vektorraum  W


      f  :  V  ====>  W        (  3  )


    dann ist  Kern  (  f  )  immer ein  UNTERRAUM   von  V  .  Ich geb dir gleich mal die Hausaufgabe,  das nachzuweisen.   Und zwar musst du drei Dinge zeigen


     1)  Nullvektor  :  Jeder Vektorraum enthält den Nullvektor


           0  €  Kern  (  f  )      (   4a  )


    2)  Homogenität


         x0  €  Kern  (  f  )  ===>  k  x0  €  Kern  (  f  )      (  4b  )


     3)  Additivität


     x1  ;  x2  €  Kern  (  f  )  ===>  x1  +  x2  €  Kern  (  f  )    (   4c  )


   Möglich dass du später mal auf Verallgemeinerungen  dieser Aussage geführt wirst.  Auch der Kern eines linearen  ===>  differenzialgleichungssystems ist ein Lösungsraum, der von seinen Basisfunktionen aufgespannt wird.  Und  auch der Kern eines linearen ===>  Diophantischen Systems  (  siehe Arndt Brünner  )  gehorcht immer noch den drei Gesetzen  ( 4a-c  )

   Deine Aussage  1) ist wahr  und  folgt unmittelbar aus  ( 1;2 )  Die Anzahl Zeilen deiner  KM  entspricht ja der Anzahl Gleichungen und die Anzahl Spalten  der Zahl der Unbekannten.  Da du weniger Gleichungen wie Unbekannte hast ===>  weniger Zeilen als Spalten, kann der Rang der  KM  höchstens werden gleich der Zeilenzahl, also  KLEINER ALS  n .  Dann folgt aber aus ( 1 ) für den Kern stets eine  POSITIVE  Dimension .

   Aussage 2) ist falsch;  ich präzisiere. Ich verstehe sie so:  Hast du mehr Unbekannte als Gleichungen, dann FOLGT  , dass das  LGS  unendlich viele Lösungen hat. Diese Aussage ist falsch.

   Die schwächere Aussage;  ES  GIBT  ein LGS  ( mit mehr Gleichungen als Unbekannten )  das unendlich viele Lösungen hat, ist   nämlich wahr.

   Es hängt nämlich alles an dem Umstand, dass du, so bald  du mehr wie eine Gleichung hast ( und egal wie viel Unbekannte )  nicht mehr sicher bist, ob es überhaupt eine Lösung gibt.

    Da hier gefordert ist: Mehr Unbekannte als Gleichungen, entscheide ich mich für das einfachste gegenbeispiel. Zwei Gleichungen (  Eine reicht nicht, hatten wir gesagt ) und  drei Unbekannte:


       x  +  y  +  z  =  4 711        (  5a  )

       x  +  y  +  z  = 1 147       (  5b  )


    Das stink normale Subtraktionsverfahren führt hier  auf  ( 4 711  =  1 147 )   Was ist da los?

   Wir waren offensichtlich gestartet mit der Annahme,  ( 5ab )  moge eine Lösung besitzen in ( x | y | z )  und hatten diese Annahme zu einem Widerspruch geführt.

   Aber auch hier gibt es ein Kriterium  - übrigens wieder mit  "  Rang  "

   "  Ein LGS ist lösbar genau dann, wenn  seine  KM  den selben Rang besitzt wie die  ===>  erweiterte  KM.  "

   Eigentlich  logisch; denn Lösbarkeit heißt doch  nichts anderes, als dass sich das Absolutglied bzw. der Spaltenvektor der rechten Seite  darstellen lässt als Linearkombination  (  LK )  der   Koeffizienten-bzw.  Spaltenvektoren der  KM .   Die Unbekannten  entsprechen genau den Entwicklungskoeffizienten dieser  LK .

   Nimm doch nur mal als Beispiel  ( 5ab )  Der Zeilenrang der  KM ist  1  , sieht man sofort.  Weil sich Gleichung ( 5a )  ein zweites Mal wiederholt in ( 5b )   Folglich kann der Spaltenrang auch nicht größer sein;  der Spaltenvektor von x  lautet  ( 1 | 1 )  , und das wiederholt sich noch zwei Mal bei y und z .   Aber  der  Vektor der rechten Seite lautet eben  ( 4 711 | 1 147 )  ; das ist linear unabhängig  von ( 1 | 1 )   Damit hat aber die erweiterte  KM  Rang  2   ===>     nicht lösbar.

   Angenommen du würdest den Vektor der rechten Seite auswürfeln mit einem Zufallsgenerator; na was meinst du?  Was wäre wohl wahrscheinlicher?  Lineare Unabhängigkeit oder Lösbarkeit?

   Dieses  LGS  ( 5ab )  repräsentiert Insellösungen in einem Meer des Chaos; des Nichts -   solche LGS heißen  ====>  schlecht konditioniert.

   Etwas anders sehen die Dinge schon aus, wenn du die Matrix  A in ( 5ab ) so abwandelst, dass sie Rang  2 hat.  Jetzt greifen zwei alternative Argumente  (  Viele Wege führen nach Rom.  )

    "  Da der Rang nie größer werden kann als die Zeilenzahl  2  ,  hat auch die erweiterte  KM  Rang 2 -  Lösbarkeit ist garantiert.  "

   "  Alle drei Spaltenvektoren von  A   liegen doch im  |R  ²  .  Rang  2   heißt doch nichts anderes, als dass  zwei der  Spaltenvektoren -  sagen wir die von  x und y -  eine Basis bilden in R  ²  .  Da auch   die rechte Seite einen Vektor darstellt in |R  ²  , muss es immer eine Lösung geben.  Denn ich kann jeden Vektor ausdrücken durch die Basisvektoren. "

   In so fällen gilt das Kriterium -  das sich übrigens wieder überträgt auf Differenzial-so wie Diophantische Gleichungen


    "  allgemeine Lösung des inhomogenen LGS = Sonderlösung des inhomogenen LGS  +  Kern  (  A  )   "        (  6  )


    Im Hinblick auf deine Frage; wir wollen im Auge behalten, dass unter den obwaltenden Umständen (  mehr Gleichungen wie Unbelannte )  der Kern positive Dimension hatte ===>  Wenn überhaupt eine (Sonder)lösung existiert, gibt es automatisch unendlich viele Lösungen.

   Zu Punkt 3) hast du dich übrigens richtig geäußert; ich hatte noch ergänzt: Der Kern ist immer ein Unterraum.

Beantwortet von 5,5 k

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