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Sicher wird es eine Mathematikstunde geben, in der das Wort „proportional“ zum ersten Mal verwendet wird. Meistens geschieht das im Zusammenhang mit dem Dreisatz. Tatsächlich aber ist der Inhalt des Begriffes „proportional“ schon im Rahmen der Bruchrechnung von Schülerinnen und Schülern erahnt worden. Beim Kürzen und Erweitern von Brüchen entstanden nämlich quotientengleiche Zahlenpaare aus Zähler und Nenner, die direkt proportional sind. Schon im Rahmen der Bruchrechnung gab es Aufgaben, in denen ein gegebener Bruch auf einen vorgegebenen Nenner erweitert oder gekürzt werden sollte.

Nur sehr selten war dabei der Faktor für das Erweitern oder der Divisor für das Kürzen eine Bruchzahl, wie etwa in der folgenden Aufgabe: Bestimme x in der Gleichung \( \frac{6}{5} = \frac{x}{7} \). Hier muss mit \( \frac{7}{5} \) erweitert werden, denn \( 5·\frac{7}{5} = 7 \). Da \( 6·\frac{7}{5} = \frac{42}{5} = \frac{84}{10} = 8,4 \) ist, wissen wir x = 8,4. Die Zahlenpaare (6; 5) und (8,4; 7) sind direkt proportional und es gilt \( \frac{6}{5} = \frac{8,4}{7} \).

Die sogenannte Dreisatzaufgabe: "5 kg Äpfel kosten 6 €.Was kosten  7 kg Äpfel?" fragt nach x in den direkt proportionalen Zahlenpaaren (6; 5) und (x; 7). In der Darstellung der Bruchrechnung ist also die schon bekannte Aufgabe: "Bestimme x in der Gleichung 6/5=x/7" zu lösen. Aus dieser Sicht der Zusammenhänge ist die Lösungsmethode des Dreisatzes entbehrlich. Ein Rückgriff auf das Kürzen und Erweitern von Brüchen hätte es auch getan.

Der Begriff „proportional“ tritt im Mathematikunterricht immer wieder auf. Zusammenhänge, in denen der Begriff „direkte Proportionalität“ auftaucht, sind (außer Bruchrechnung und Dreisatz):

- Ursprungsgeraden unter den linearen Funktionen
- Strahlensätze und Ähnlichkeitssätze, zentrische Streckung
- Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken sin, cos, etc.
- Steigung, Steigungsdreieck, Differenzenquotient
- Proportionalitätsfaktor und Proportionalitätstilde

Eine erste Berührung mit dem Begriff der indirekten Proportionalität erleben Schülerinnen und Schüler bereits im Rahmen der Aufgabenstellung: „Welche Multiplikation hat das Resultat 12?“ Diese Frage stellt sich etwa im Rahmen von Primfaktorenzerlegungen. Im Rahmen von sogenannten Dreisatzaufgaben tauchen etwa feste Vorräte für variable Zeiträume oder Konsumenten auf.

Eine Dreisatzaufgabe aus diesem Zusammenhang ist diese: "Ein Bauer hat für seine 16 Rinder noch Futtervorräte für 105 Tage, als er zwei Rinder verkauft. Wie lange recht der Vorrat jetzt?" Zunächst muss der Vorrat in Tagesportionen pro Rind angegeben werden. Das sind 16·105 Tagesportionen pro Rind. Da er nach dem Verkauf noch 14 Rinder hat, erhält man die Antwort auf die gestellte Frage durch die Rechnung \( 16·\frac{105}{14} \). An dieser Stelle ist es nun günstig, die oben erwähnten Operationen wie Faktorenzerlegung und Kürzen zu beherrschen. Dann erhält man 8·15 = 120 Tage.

Zusammenhänge, in denen der Begriff „indirekte Proportionalität“ im weiteren Schulleben auftaucht, sind darüber hinaus:

- Rechtecke gleichen Inhalts
- Reziproke Funktionen und deren Graphen (Hyperbeln)
- Proportionalität zwischen Messgröße und Kehrwerten anderer Messgrößen.

Den Dreisatz kann man also entbehren, wenn man im Falle direkter Proportionalität das Erweitern auch mit Bruchzahlen (als Erweiterungsfaktoren) beherrscht und im Falle indirekter Proportionalität eine Zahl (Produkt zweier Faktoren) in zwei andere Faktoren zerlegen kann, von denen einer schon bekannt ist.

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von 54 k

Hallo

 natürlich kann man den Dreisatz entbehren, wenn man mit Gleichungen umgehen kann, und wiess was proportional und antiproportional ist. Aber der einsatz des Dreisatzes liegt früher! Kids fällt es leichter von 5 kg Äpfel auf 1 kg Äpfel zu schließen und dann auf 7. Die Vorbereitung darauf fängt ja schon in der 2 ten Klasse an, wo man von 1Apfel kostet 20Cent. wieviel kosten 5 Äpfel.

dagegen ist der abstrakte Begriff Preis ist  proportional zur Menge, mit dem daraus folgenden Preis/Menge=const oder Menge/Preis=Konst abstrakter und schwieriger.

meist wird proportinal so eingeführt,: a verdoppeln führt zu b verdoppeln a verdreifachen führt zu b verdreifachen und dann im Rückblick auf Brüche a/b ist fest.

erst dan kann man 6€/5Ä=x/7Ä  finden und lernen die Gleichung zu lösen . entsprechendes gilt für die umgekehrte Proportionalität  zwischen a und b: a*b=const.

auch hier sieht man schon im 5.-6. Schuljahr dass das Futter für 1 Kuh 16 mal so lange reicht wie für 16 Kühe, und für 14 Kühe nur 1/14 der Zeit, wie für 1 Kuh.

Also ja, ältere Schüler sollten proportionalität und gleichungen anwenden können, für den einstig in einfach Anwendungen sind sie nicht geeignet.

(Kennst du kids unter 12 J ? dann kannst du es ja ausprobieren)

Gruß lul

Hallo lul,
Du schreibst völlig richtig:

natürlich kann man den Dreisatz entbehren, wenn man mit Gleichungen umgehen kann, und weiss was proportional und antiproportional ist. Aber der Einsatz des Dreisatzes liegt früher!

Zum Zeitpunkt der Behandlung des Dreisatzes in der Schule können die Kinder bereits Brüche erweitern und kürzen sowie Produkte in Faktoren zerlegen. Wenn man also auf diese beiden Fertigkeiten zurückgreift, kann man auf den Dreisatz verzichten. Das kann in der Praxis natürlich auch schwer fallen. Ich stimme Dir zu, wenn Du, wenn Du schreibst: "Kids fällt es leichter von 5 kg Äpfel auf 1 kg Äpfel zu schließen und dann auf 7." Das ist ja auch der Grund für die Einführung des Dreisatzes.

Was ich sagen will, ist: Der Dreisatz ist ein methodischer Kniff, der sich bewährt hat. Zwingend erforderlich ist er aber nicht, wenn die mathematische Tugend des Zurückgreifens auf schon Verstandenes beherrscht (und wirklich verstanden hat, worauf man zurück greift).

Gruß Roland

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