Funktionsscharen, Scharfunktionen

Question

Untersuchen Sie die Funktion f auf lokale Extremstellen. Verwenden Sie als hinreichende Bedingung das f''-Kriterium, sofern dies anwendbar ist.

1.) f_a(x)= 3a²*x³-1/5x⁵, a>0

Mein Ansatz:

f (x)= 3a²*x³-1/5x⁵, a>0

f'(x)= 9a²*x²-x⁴

f''(x)= 18a²*x-4x

notwendige Bedingung: f'(x)=0

0=9a²*x²-x⁴

0= x²*(9a²-x²)

0=x² / √                             

v

0= 9a²-x² / +x²

x²=9a²     / √

x2,3= ± √9a²

aber bei der hinreichenden Bedingung komme ich nicht weiter.

h.B. f''(x) ≠ 0

f''(+ √9a²) > 0

=> lokales Minimum, aber mein Taschenrechner zeigt mir einen lokalen Hochpunkt an ?

f''(- √9a²) < 0

=> lokales Maximum, aber mein Taschenrechner zeigt mir einen lokalen Tiefpunkt an?

f''(0)=0

=> hier mit dem VZW-Kriterium überprüfen (?)

Habe als Teststellen x=-1 und +1 verwendet und in f' eingesetzt, es es kommt bei beiden eine positive Steigung raus

Folglich ist bei S (0/0) ein Sattelpunkt.

Kann mir aber jemand bitte bei dem hinreichendem Kriterium weiterhelfen?

                                         

x=0                            

Answer 1

x2,3= ± √9a² muss heißen x_2,3= ± √(9a²)=±3a.Vielleicht geht es jetzt?

Comments

Nein, geht auch nicht, wenn ich zB. für a=1 einsetze.

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f''(x)= 18a²*x-4x muss heißen f''(x)= 18a²*x-4x³.

Answer 2

Stellen mit waagerechter Tangente
x = 0
und
x = -3a
und
x = 3a

f´´ ( x ) = 18 * a² * x - 4x³

Die Stellen eingesetzt in die 2.Ableitung ergeben
f´´ ( 0 ) = 18 * a² * 0 - 4*0 ³ = 0
Wird zum Schluß besprochen.

f´´ ( -3a ) = 18 * a² * (-3a)  - 4 * ( -3a) ³
f´´ ( -3a ) = -54 * a ³   + 108 * a ³
f´´ ( -3a ) = 54 * a ³ 
Eingangsangabe a > 0
f´´ ( -3a ) = 54 * a ³   | positiv ; Linkskrümmung
Die Stelle ist ein Tiefpunkt

f´´ ( 3a ) = 18 * a² * (3a)  - 4 * ( 3a) ³
f´´ ( 3a ) = 54 * a ³  - 108 * a ³
f´´ ( 3a ) = -54 * a ³
Eingangsangabe a > 0
f´´ ( 3a ) = -54 * a ³  | negativ ; Rechtskrümmung
Die Stelle ist ein Hochpunkt

Verwenden Sie als hinreichende Bedingung
das f''-Kriterium, sofern dies anwendbar ist.
f´´ ( 0 ) = 18 * a² * 0 - 4*0 ³ = 0
Das f ´´ ergibt keine eindeutige Beurteilung.

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Hier für a = 1 der Graph