Symmetrische Matrix, λ ist ein Eigenwert von A gdw λ-1 ein Eigenwert von A-1 ist.

Question

$$Sei \quad A \epsilon Gl(n,IR)\quad eine\quad symmetrische \quad Matrix. \quad Man\quad beweise:$$

a)$$\Lambda \quad ist \quad Eigenwert \quad von\quad A \quad dann\quad und \quad nur \quad dann,\quad wenn \quad { \lambda }^{ -1 } \quad ein \quad Eigenwert \quad von\quad {A }^{ -1 } ist.$$

b) v ist ein Eigenvektor von A dann und nur dann, wenn v ein Eigenvektor von $${A }^{ -1 }\quad ist.$$ 

Comments

Vom Duplikat:

Titel: λ ist ein Eigenwert von A dann und nur dann, wenn λ^-1 ein Eigenwert von A^-1 ist.

Stichworte: matrix,eigenwerte,inverse

Sei A ∈ Gl(n,R) eine symmetrische Matrix. Man beweise:

λ ist ein Eigenwert von A dann und nur dann, wenn λ^-1 ein Eigenwert von A^-1 ist.

Answer 1

λ ist ein Eigenwert von A   (wegen A ∈ Gl(n,R) ist λ≠0)

<==>  ∃ v∈ℝⁿ   v≠0  und

                   A*v = λ*v

        <=>  A^-1 * A * v = A^-1 * λ*v

        <=>    v = λ*A^-1*v    ( λ≠0 s.o.)

  <=>    λ^-1*v = A^-1*v

d.h.   λ^-1 ist Eigenwert von A^-1.

Answer 2

Hallo Gast, in meinem Bild habe ich a und b gleichzeitig bewiesen.