Euklidischer Abstand auf R^n

Question

Ich betrachte hier den Euklidischen Abstand $$ d_2(x,y):=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2} $$ auf R^n und will beweisen, dass dieser eine Metrik auf R^n bildet, wobei ich mir bei Punkt (iii) nicht ganz sicher bin, ob mein Weg funktioniert.

Beweis:

$$ \text{Seien x,y,z} \in \mathbb{R^n}.\text{ Dann ist} $$

$$ (i) \text{ Für } x\neq y \text{ folgt } d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2}>0 \text{ und für } x=y ~ ~ d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2}=0$$

$$ (ii) \text{Symmetrie}\\d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(y_k-x_k)^2}=d_2(y,x) $$

$$ (iii) \text{Dreiecksungleichung}\\d_2(x,z)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-z_k)^2}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\Big((x_k-y_k)+(y_k-z_k)\Big)^2}\\ \leq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\Big((x_k-y_k)^2+(y_k-z_k)^2\Big)}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2+\sum_{k=1}^{n}(y_k-z_k)^2}\\ \leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_k-y_k)^2}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(y_k-z_k)^2}=d_2(x,y)+d_2(y,z)$$

Answer 1

Fuer Deine erste Ungleichung bei (iii) verwendest Du doch \((a+b)^2\le a^2+b^2\), oder? Das stimmt aber nur, wenn \(ab\le0\), sonst nicht.

Der Standardbeweis leitet die quadrierte Dreiecksungleichung her. Es faengt wie bei Dir mit $$d(x,z)^2=\sum(x_i-z_i)^2=\sum\bigl((x_i-y_i)+(y_i-z_i)\bigr)^2=\ldots$$ an, aber dann wird ausgerechnet und erst dann abgeschaetzt -- und zwar unter Verwendung der Cauchyschen Ungleichung $$\left(\sum a_ib_i\right)^2\le\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right).$$

Comments

Meinst du also, dass man zunächst folgendes tut:

$$ \sum_{i=1}^{n}\bigl((x_i-y_i)+(y_i-z_i)\bigr)^2 \\=\sum_{i=1}^{n}\Big((x_i-y_i)^2+2(x_i-y_i)(y_i-z_i)+(y_i-z_i)^2 \Big)\\=\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+2\cdot\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2$$ ???

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Genau.

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Nur komm ich dann nicht wirklich weit...

Ich hätte sowas hier:

$$ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+2\cdot\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\\ \leq\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+2\cdot\Bigg(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\Bigg)^2+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\\ \stackrel{Cauchy \\ Ungl.}{\leq} \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+2\cdot\Bigg(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\Bigg)\cdot\Bigg(\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\Bigg)+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2$$

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Ist ideentechnisch nicht voellig daneben, aber schon falsch. Quadrieren tut nicht immer vergroessern. 0,1²  < 0,1.

Du weisst ja, was rauskommen muss. Am Ende der Rechnung muss \(\le(d(x,y)+d(y,z))^2\) stehen.

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Ja, ich weiß, wo ich rauskommen will, aber ich habe keine Ideen mehr, was man noch tun könnte/sollte...

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Die Sache ist an dieser Stelle ziemlich simpel und straight. Schlaf mal drueber.

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Ich habe nun folgendes gemacht:

Ich habe einfach den Summanden in der Mitte anders umschrieben und dann mithilfe der Cauchy-Ungleichung nach oben abgeschätzt:

$$ 2\cdot\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i) = 2\cdot\sqrt{\Bigg(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i)\Bigg)^2}\\ \leq 2\cdot\sqrt{\Bigg(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\Bigg)\cdot\Bigg(\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\Bigg)}$$

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Dann habe ich :

$$ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+2\cdot\sqrt{\Bigg(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\Bigg)\cdot\Bigg(\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\Bigg)}+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\\=\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2+2\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2}+\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2\\=\Bigg(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2}\Bigg)^2\\=\Big(d_2(x,y)+d_2(y,z)\Big)^2 $$

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Du hast da in Deinem vorletzten Post einen technischen Fehler. \(t=\sqrt{t^2}\) ist falsch. Richtig ist \(t\le\sqrt{t^2}\).

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Ah stimmt, denn es kann ja sein, dass $$ 2\cdot\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)(y_i-z_i) $$ negativ ist.