f: X -> Y, g: Y -> X, g(f(x)) = id(x). Beweise f injektiv und g surjektiv.

Question

Ist der Beweis so korrekt?

Ist f(x1) = f(x2) für  x1, x2 Element von X, so ist x1 = id x (x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = id x (x2) = x2.
Also ist f injektiv.

Ist x Element von X, so ist x = g(f(x)) = id x (x), also Bild von f(x).
Also ist g surjektiv.

Answer 1

Ist doch ok. Ich sehe keine Mängel

Comments

Danke. Das oben war Teilaufgabe (a).

Gegeben: f: X -> Y, g: Y -> X, g(f(x)) = id(x)
(a) ist "Beweise f injektiv und g surjektiv" (siehe Ausgangspost).
und (b) "Gilt auch f verkettet mit g = id y, so sind f, g beide bijektiv und es gilt g = f ^{-1}. Beweisen Sie das!"

Beweis für (b):
Ist g: Y -> X mit g(f(x)) = id x gegeben, sowie f(g(y)) = id y, so muss f und g nach (a) jeweils bijektiv sein. Da f(g(y)) = y = f(x) und g(f(x)) = x = g(y), stimmt die Behauptung, dass g = f ^ (-1) ist.

Ist der Beweis für (b) auch richtig? Hatte keinen anderen Ansatz als zu zeigen, dass die Verkettung und jeweils die einzelne Funktion zur selben Lösung führen, also g Umkehrfunktion von f sein muss.

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Ich denke das passt auch.