Boolsche Algebra - Durch Umformung beweisen

Question

Ich soll folgendes durch Umformung zeigen:

$$(a\leftrightarrow b) = ((a \vee b) \rightarrow (ab))$$

Mein Ansatz war jetzt folgender (ich fange an den linken Teil umzuformen):

$$=(a\rightarrow b \wedge b \rightarrow a) \\ = a \rightarrow b \wedge b \rightarrow a \wedge a \rightarrow a \wedge b \rightarrow b \\ = a \rightarrow (a \wedge b) \wedge b \rightarrow (a \wedge b)$$

Weiter komme ich aber leider nicht, da ich nicht weiß wie ich dieses "oder" auf der rechten Seite bekomme. Habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?

Answer 1

Verwende  $$(a \rightarrow b) = (¬a ∨ b )$$

Ich würde einmal mit dem rechten und einmal mit dem linken beginnen:

$$a\rightarrow b \wedge b \rightarrow a\\$$

= ( ¬a ∨ b)  ∧ (¬b ∨ a)

= ( ¬a   ∧ ¬b  )  ∨  ( ¬a   ∧ a  )   ∨  ( b   ∧ ¬b  )   ∨  ( a   ∧ b  )

= ( ¬a   ∧ ¬b  )   ∨  ( a   ∧ b  )

und entsprechend

$$(a ∨ b) \rightarrow (a \wedge b)$$

$$\\= ¬(a ∨ b) ∨ (a ∧ b)$$

Dann de Morgan anwenden  gibt

$$\\= (¬a ∧ ¬b) ∨ (a ∧ b)$$

=  (¬a  ∧ ¬b)  ∨  (a  ∧ b)

Bingo !