Äquivalenzen von Projektionsabbildungen zeigen. Wie?

Question

Leute

Ich sitze seit Stunden vor einer Aufgabe rum und komme nicht wirklich weiter... Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus:

Ich denke, die erste die erste Implikation (also i) -> ii)  ) gezeigt zu haben. ich habe sie folgendermaßen gezeigt:

Zu zeigen: 

P eingeschränkt auf U := Bild(P) ist die Identität, d.h. P(u) = u für ein u  ∈ U

Beweis:

Das Bild(P) ist im Allgemeinen so definiert: Bild(P) ={P(v)|v ∈ V} ⊆ V
Da U:= Bild(P), gilt auch U= Bild(P) ={P(v)|v ∈ V} ⊆ U

Da P(v) Elemente aus dem Bild(P) =U sind, gilt auch P(v)=u mit u∈U

Sei v  ∈ V mit P(v) = u ∈  ∈ U, dann ist P ∘  P(v) = P(v) = u (wegen (i)), aber auch P ∘ P(v) = P(u) (da P(v) = u). Also gilt P(u) = u.

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Stimmt das bis hierhin? Falls ja, komme ich aber danach nicht mehr weiter. Wenn es also darum geht, die Implikation ii) -> iii) zu zeigen...

Aus der Aussage iii) " Es existieren Unterräume U, W ⊂ V , so dass U + W = V und P(u + w) = u für alle  u ∈ U
und w ∈ W" 

konnte ich folgende Informationen herausfiltern:

Da U+W=V gilt, sind U und W disjunkt. Das heißt, dass U∩W=0.

Wenn P(u+w)=u für alle u ∈ U
und w ∈ W gilt, dann ist W der Nullraum, oder?

Wie ich darauf komme:

Da p eine lineare Abbildung ist, gilt doch: P(u+w)=P(u)+P(w). Und wenn

P(u+w)=P(u)+P(w)=u gilt, dann muss P(w) der Nullvektor sein, weil P(u)=u ist (nach ii). Und da w∈W beliebig ist, ist ganz W der Nullraum.


Nun weiß ich aber nicht so recht, wie ich damit die iii) zeigen soll.. kann mir da jemand weiter helfen? 

Lg

Dome

Answer 1

  Ich habe ein richtig schlechtes Gewissen; jetzt müsste ich deinen Beweis durchsehen.  Da bin ich mal gespannt, ob unsere schlauen Leute hier das machen.

   i)  ===>  ii )

   Geht   ungeheuer professionell mit  ===>  Elementarteiler  ( ET ) Teorie.  Ich kann es dir nur wärmstens ans Herz legen.  Gerade an diesem Beispiel siehst du:  Nicht die Säkulardeterminante sagt etwas aus über eine Matrix, sondern ihr  ===>  Minimalpolynom.

   Die Matrix ist  idempotent  ;  P  ²  =  P   Damit gehorcht sie dem Polynom  x  ²  =  x  .   Welche Teiler hat dieses Polynom?  Erst mal  x = 0  ===>  P  =  Nullmarrix.  Dann  x = 1 entsprechend  P = 1|  =  Einheitsmatrix  .   Im allgemeinen Fall hast du das Minimalpolynom

    p_min  (  x  ;  P  )  =  x  ²  -  x  =  x  (  x  -  1  )       (  1  )

    D.h. die beiden  ET  von  ( 1 )  sind linear.  Dann und nur dann, wenn sämtliche  ET  linear sind,  ist eine Matrix diagonalisierbar. Du bekommst also immer die direkte Summe aus  den beiden ===>  Komponentenräumen V0  =  Kern  (  P  )   so wie einem Bildraum   V1  mit der Eigenschaft, dass die Beschränkung von P auf V1 die Einheitsmatrix ist, wzbw .

   ii)  ===>  iii)

     Dass  U  =  Bild  (  P  )  , ist Voraussetzung in ii )  Wir werden zeigen 

       W  =  Kern  (  P  )       (  2  )

   Sei    v  ein beliebiger Vektor; dann definieren wir

    u  :=  P  v  €  U  =  Bild  (  P  )       (  3a  )

    v  =:  u  +  w    |   P  °        (  3b  )

    Anmerkung;  "  Kringel rechts  "  soll   bedeuten  "   Matmul  von  Links  "

        P  v  =  P  u  +  P  w      (  4a  )

       u  =  P  (  u  +  w  )     (  4b  )     wzbw

    und zwar wurde auf der linken Seite von ( 4b )  von Def ( 3a ) Gebrauch gemacht.  Dann gilt aber in  ( 4a )

    u  =  u  +  P  w  ===>  P  w  =  0  ===>  w  €  Kern  (  P  )     (  4c  )

    weil wir ja gesagt hatten,  die Beschränkung von P auf U ist die Identität.   Damit sagt ( 4c )  das Behauptete aus,  v ist Summe aus Bildraum  U und Kernraum  W  .  Diese Summe ist sogar direkt; das kann man sich auf zwei Weisen klar machen.

   1)  dim  V  =  dim  Kern  (  P  )  +  Rang  (  P  )     (  5  )

   2)  Oder du sagst, Eigenraum U zu Eigenwert  1   und Eigenraum  W zu eigenwert  0  ,  also verschiedene Eigenwerte, können nur den trivialen Durchschnitt haben.

     iii)  ===>  i)

     Ich selbst habe ein Problem genau mit dem Punkt, den du anschneidest.  Ist hier tatsächlich die direkte Summe  von V und W gemeint ( wie oben schon gezeigt )  ?   Denn gesetzt den Fall ,  du hättest die beiden Darstellungen

     v  =  u1  +  w1        (  6a  )

      v  =  u2  +  w2        (  6b  )

      dann würde  aus ( 6a ) folgen P v = u1  und aus  (  6b  )  P  v  =  u2  .  Das wäre ja Sinn los;      als Abbildung wäre P gar nicht eindeutig definiert.  Oben hatte ich zusätzlich gezeigt, dass die Summe von U und W direkt ist; und hier brauchen wir das auch.

    Der Beweisschritt ist jetzt trivial, wenn du bedenkst, dass ja die Zerlegung lautet   u = u + 0

    P  v  =  P  (  u  +  w  )  =  u      (  7a  )

     P  ²  v  =  P  (  u  +  0  )  =  u  =  P  v     (  7b  )