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.Wir nennen eine Matrix A ∈ ℂnxn mit ATA = AAT normal.

Unbenannt.JPG

Man zeige: A ∈ ℂnxn ist normal, wenn es eine Matrix B ∈ U(n) gibt s.d. B-1AB
eine (komplexe) Diagonalmatrix ist. (Tipp: siehe Beweis des Spektralsatzes.)

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Nach Spektralsatz gilt:

Eine Matrix \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) ist genau dann normal, wenn \(A\) unitär diagonalisierbar ist, d.h. wenn es eine unitäre Matrix \(U\in\mathbb{C}^{n\times n}\) und eine Diagonalmatrix \(D\in\mathbb{C}^{n\times n}\) mit \(A = U D U^{-1}\) gibt.

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Wenn es nun zu \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) eine Matrix \(B\in\text{U}(n)\) gibt, so dass \(B^{-1} A B\) eine (komplexe) Diagonalmatrix ist, so kann man \(U := B\) und \(D := B^{-1} A B\) setzen. Dann ist \(U\) eine unitäre Matrix und \(D\) eine Diagonalmatrix mit \(U^{} D^{} U^{-1} = {B}^{} ({B}^{-1} A^{} B^{}) {B}^{-1} = (B^{} B^{-1}) A^{} ({B^{} B}^{-1}) = A^{}\). Demnach ist dann \(A\) unitär diagonalisierbar, also nach Spektralsatz normal.

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Sollte dir die entsprechende Version des Spektralsatzes nicht bekannt vorkommen, so kann man natürlich auch nochmal nachbeweisen ...

Sei \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\). Es gebe eine Matrix \(B\in\text{U}(n)\), so dass \(D :=B^{-1} A B\) eine (komplexe) Diagonalmatrix ist. Aus \(D = B^{-1} A B\) erhält man \(A = B D B^{-1}\). Wegen \(B\in \text{U}(n)\) ist \(B^{-1}=B^*\). Da \(D\) eine (komplexe) Diagonalmatrix ist, gibt es \(\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n}\in\mathbb{C}\) mit \(D = \begin{pmatrix}\lambda_1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}\). Dann ist ... \[\begin{aligned}\overline{A^{T}} A &= A^* A = (B D B^{-1})^* B D B^{-1}=(B D B^*)^* B D B^* \\ &=(B^*)^* D^* B^* B D B^*=B D^* B^{-1} B D B^*=B D^* D B^* \\&= B \begin{pmatrix}\overline{\lambda_1} && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \overline{\lambda_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda_1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} B^* \\&= B \begin{pmatrix}\overline{\lambda_1} \lambda_1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \overline{\lambda_n} \lambda_n \end{pmatrix} B^*\\&= B \begin{pmatrix} \lambda_1 \overline{\lambda_1} && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \overline{\lambda_n} \end{pmatrix} B^* \\&= B \begin{pmatrix} \lambda_1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  \overline{\lambda_1} && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \overline{\lambda_n} \end{pmatrix} B^* \\&= B D D^* B^* = B D B^{-1} BD^* B^* = B D B^{-1} (B^*)^*D^* B^* \\&= B D B^{-1} (B D B^*)^* = B D B^{-1} (B D B^{-1})^* = A A^* = A \overline{A^T}\text{.}\end{aligned}\]

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