A ∈ ℂnxn ist normal, wenn es eine Matrix B ∈ U(n) gibt s.d. B-1AB eine (komplexe) Diagonalmatrix ist

Question

.Wir nennen eine Matrix A ∈ ℂnxn mit A^TA = AA^T normal.

Man zeige: A ∈ ℂ^nxn ist normal, wenn es eine Matrix B ∈ U(n) gibt s.d. B^-1AB
eine (komplexe) Diagonalmatrix ist. (Tipp: siehe Beweis des Spektralsatzes.)

Answer 1

http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Lineare_Algebra/F…

Answer 2

Nach Spektralsatz gilt:

Eine Matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ist genau dann normal, wenn $A$ unitär diagonalisierbar ist, d.h. wenn es eine unitäre Matrix $U\in\mathbb{C}^{n\times n}$ und eine Diagonalmatrix $D\in\mathbb{C}^{n\times n}$ mit $A = U D U^{-1}$ gibt.

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Wenn es nun zu $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ eine Matrix $B\in\text{U}(n)$ gibt, so dass $B^{-1} A B$ eine (komplexe) Diagonalmatrix ist, so kann man $U := B$ und $D := B^{-1} A B$ setzen. Dann ist $U$ eine unitäre Matrix und $D$ eine Diagonalmatrix mit $U^{} D^{} U^{-1} = {B}^{} ({B}^{-1} A^{} B^{}) {B}^{-1} = (B^{} B^{-1}) A^{} ({B^{} B}^{-1}) = A^{}$. Demnach ist dann $A$ unitär diagonalisierbar, also nach Spektralsatz normal.

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Sollte dir die entsprechende Version des Spektralsatzes nicht bekannt vorkommen, so kann man natürlich auch nochmal nachbeweisen ...

Sei $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Es gebe eine Matrix $B\in\text{U}(n)$, so dass $D :=B^{-1} A B$ eine (komplexe) Diagonalmatrix ist. Aus $D = B^{-1} A B$ erhält man $A = B D B^{-1}$. Wegen $B\in \text{U}(n)$ ist $B^{-1}=B^*$. Da $D$ eine (komplexe) Diagonalmatrix ist, gibt es $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n}\in\mathbb{C}$ mit $D = \begin{pmatrix}\lambda_1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}$. Dann ist ... $\begin{aligned}\overline{A^{T}} A &= A^* A = (B D B^{-1})^* B D B^{-1}=(B D B^*)^* B D B^* \\ &=(B^*)^* D^* B^* B D B^*=B D^* B^{-1} B D B^*=B D^* D B^* \\&= B \begin{pmatrix}\overline{\lambda_1} && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \overline{\lambda_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda_1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} B^* \\&= B \begin{pmatrix}\overline{\lambda_1} \lambda_1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \overline{\lambda_n} \lambda_n \end{pmatrix} B^*\\&= B \begin{pmatrix} \lambda_1 \overline{\lambda_1} && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \overline{\lambda_n} \end{pmatrix} B^* \\&= B \begin{pmatrix} \lambda_1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{\lambda_1} && 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \overline{\lambda_n} \end{pmatrix} B^* \\&= B D D^* B^* = B D B^{-1} BD^* B^* = B D B^{-1} (B^*)^*D^* B^* \\&= B D B^{-1} (B D B^*)^* = B D B^{-1} (B D B^{-1})^* = A A^* = A \overline{A^T}\text{.}\end{aligned}$