Stetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion zeigen.

Question

es geht um folgende Abbildung bei der ich nicht vorankomme, zu zeigen, dass eine Stetigkeit vorliegt.

$$f:\ \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R},\quad f(x,y):=\begin{cases} \Big|\frac{y}{x^2}\Big|e^{-\Big|\frac{y}{x^2}\Big|},\quad x\neq0\\ 0, \qquad \qquad sonst.\end{cases}$$

Dazu wird eine Gerade betrachtet

$$G:=\Bigg\{g: \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t\\ t\cdot m\end{pmatrix}=t\cdot \begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}, \\t \in \mathbb{R}, m\in \mathbb{R} \setminus \{0\} \text{ durch die beiden Punkte } (0,0) \, (1,m)\Bigg\}$$

Man soll zeigen

$$f|_G \ \ stetig$$

Mein Weg dazu war L'Hospital anzuwenden, aber damit kam ich nicht weit und habe keine weitere Idee die Stetigkeit zu zeigen.

$$\lim_{t \nearrow 0}{\Bigg|\frac{tm}{t^2} \Bigg|}e^{-\Bigg|\frac{tm}{t^2} \Bigg|}=\lim_{t \nearrow 0}{\Bigg|\frac{m}{t} \Bigg|}e^{-\Bigg|\frac{m}{t} \Bigg|}\\=\lim_{t \nearrow 0}{\frac{-|m|e^{-\frac{|m|}{-t}}}{t}}=\lim_{t \nearrow 0}{\frac{-|m|e^{\frac{|m|}{t}}}{t}}\stackrel{L'H}{=}\lim_{t \nearrow 0}{-|m|e^{\frac{|m|}{t}}}=\lim_{t \nearrow 0}{-|m|e^{\frac{|m|}{t}}\cdot \frac{-|m|}{t^2}}$$

Ab hier komme nicht weiter...

Answer 1

Hallo

 warum lässt du plötzlich das Minuszeichen in der Exponentialfunktion weg?

aber du hast auch exp(-m/t) falsch differenziert (Kettenregel anwenden!) also ist dein L'Hopital falsch

 schreib um zu (m/t)/exp(m/t), dann entweder L'Hopital oder benutzen dass e^x stärker wächst als jede Potenz von x.

Gruß lul

Comments

Das Minuszeichen verschwindet deshalb, da der Ausdruck für t<0 negativ ist, wegen der Definition des Betrages.

Ja,bei L'H habe ich vergessen die Ableitung der inneren Funktion noch dranzuschreiben...