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Ich hab ein Problem mit (fortgeschrittenen) Extremwertaufgaben und hoffe hier vor der Prüfung am Mittwoch Hilfe zu finden :)

Aufgabe:

a) Aus zwei verschiedenen Materialien soll eine nach oben offene, quaderförmige Kiste hergestellt werden. Dabei soll die Grundfläche der Kiste ein Seitenverhältnis von 2:1 aufweisen. Das Material für die Grundfläche kostet 2 Cent pro Quadratmeter, das für die Seitenfläche 4 Cent pro Quadratmeter.

Wie müssen die Maße der Kiste gewählt werden, damit die Kiste ein Volumen von 100 Kubikmetern besitzt und die Materialkosten minimal werden?


Mein Problem bei dieser Aufgabe ist zum einen, dass ich nicht weiß, an welcher Stelle ich die Materialkosten hinzurechnen muss. Ich könnte zwar eine Kiste mit 2:1 Grundfläche, 100 qm³ Volumen mit der geringsten Oberfläche ausrechnen  - aber wie rechne ich die geringsten Kosten aus?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

von

4 Antworten

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V = 2a*a*h = 100 --> 2a^2*h = 100 --> h= 50/a^2

O = 2a*a+ 2(2ah+ah) = 2a^2+6ah = 2â^2+300/a

Mit Kosten:

O(a)= 2a^2*2+300/a * 4

O(a) = 4a^2 + 1200/a

O'(a) = 8a - 1200/a^2

Berechne: O'(a) = 0

von 62 k 🚀
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          Würdest du das  Verfahren von Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino kennen, gäbe es gar keine Probleme. die Hauptbedingung, die  Kosten


     K  (  x  ;  y  ;  z  )  :=  a  x  y  +  2  b z  (  x  +  y  )  =  min     (  1a  )


   Ich sag jetzt mal a und  b statt der konkreten Zahlen; mal sehen was dabei raus kommt ( Wir sind schließlich neugierig. )  Kanntutirtie  Kiste vorstellen?  Ich selber hätte so  Minimaxaufgaben nämlich nie gekonnt, wenn mir mein Daddy damals in der Sexta nicht erklärt hätte, wie man einen Quader aus seinem Netz hoch zieht.  Die Kosten sind einfach Linearfaktoren, die an den Flächen anzubringen sind.  Noch Fragen?

  Nebenbedingung; das Volumen


     V  (  x  ;  y  ;  z  )  :=  x  y  z  =  V0  =  const      (  1b  )


     Diese Nebenbedingung mit dem Seitenverhältnis offenbart  nur eine Kapitulantengesinnung; so als wäre es nicht möglich, 3 Veränderliche mit nur einer   Nebenbedingung eindeutig zu lösen. Mich intressiert jetzt, was wirklich die billigste Kiste ist.

    Dabei käme Lagrange gerade den schwachen Schülern entgegen;   er  ordnet deine Gedanken, und wir haben ein klar gegliedertes Vorgehen.  Den Lagrangeparameter von ( 1b ) nenne ich k   ; wir bilden die Linearkombination


    H  (  x  ;  y  ;  z  )  :=  K  (  x  ;  y  ;  z  )  +  k  V  (  x  ;  y  ;  z  )     (  2  )


    Notwendige Bedingung für Minimum: Der Gradient von H verschwindet.


   H_x  =  a  y  +  2  b  z  +  k  y  z  =  0   |   *    x    (  3a  )

    a  x  y  +  2  b  x  z  +  k  x  y  z  =  0      (  3b  )

H_y  =  a  x  +  2  b  z  +  k  x  z  =  0  |  *    y      (  4a  )

    a  x  y  +  2  b  y  z  +  k  x  y  z  =  0      (  4b  )


    Subtraktionsverfahren  ( 3b )  - ( 4b )


     2  b  z  (  x  -  y  )  =  0  ===>  x  =  y      (  5  )


    In  Worten: Die Grundfläche ist quadratisch zu wählen - unabhängig von den Kosten.


   H_z  =  2  b  (  x  +  y  )  +  k  x  y  =  0   |  *  z     (  6a  )

      2  b  z  (  x  +  y  )  +  k  x  y  z  =  0     (  6b  )


    Subtraktionsverfahren  (  6b  )  -  (  4b  )


     a  y  =  2  b  z  ===>  a / b  =  2  z / y      (  7  )


    Kann man das verstehen?  Der Faktor 2 kommt von Da her, dass wir für die Seitenflächen doppelt so viel Material verbrauchen wie für den Boden.  Es handelt sich hier um eine umgekehrte Proportionalität;  je teurer dass der Boden ist, desto mehr sollst du " in die Höhe " bauen.

von 5,5 k

  Ihr kennt mich ja; das Beste ist mir nie gut genug. Ich will euch erzählen, warum mir hier nochwas eingefallen ist.

   Das Extremwertproblem, aus einer zuläsigen Klasse von Körpern mit gegebenem Volumen denjenigen mit der kleinsten Oberfläche zu ermitteln, bezeichne ich als das Volumenproblem dieser Klasse.  Setzt man den Lagrangeformalismus ein, so folgt trivial, dass das reziproke Problem, aus allen Körpern mit gegebener Oberfläche denjenigen mit größtem Volumen zu ermitteln, auf die identische Lösung führt.

    Ihr wisst um die Bedeutung von Symmetrien bei der Lösung matematischer Probleme; hier eine kleine Anekdote über die beiden Riesen der QM  ===>  Erwin Schrödinger und ===>  Eugen Paul Wigner.

   S. und Wigner tragen einen edlen Wettstreit aus, die Berechnung von Atomorbitalen.   S. schwört auf seine  ===>  Wellenfunktionen und benötigt einen Tag.  Wigner, der Symmetrie-Überlegungen den Vorzug gibt, löst das Problem in 5 min ...

    S. fordert Revanche;  eine Klasse schwieriger.  S. benötigt eine Woche, dagegen Wigner mit seinen Symmetrien nur einen Tag.

   Aller guten Dinge sind drei; das dritte Problem erwies sich als der Art schwierig, dass Wigner einen Monat benötigt.   Als Wigner die Lösung vorlegt, wirft S. entnervt das Handtuch ...

    Ihr ahnt es sicher schon; hier soll es gehen um die Anwendung von Symmetrien bei der Lösung von Volumenproblemen.  Ihr wisst, dass man zitieren muss und was den Leuten passiert, die fremde Ideen als ihre eigenen ausgeben.  Um so erstaunter war ich, dass ich hier immer wieder Hinweise erhielt, ich solle lieber zu wenig zitieren als zu viel;  schließlich seien Zitate nicht Bestandteil der Lösung einer Aufgabe.

   Da gibt   oder besser gab es ein Portal - nennen wir es mal  " Pipapo "  Weil   den wirklichen Klarnamen lässt dieser Editor nicht durch.   Ich muss   da auch sehr aufmerksame Leser haben;  denn wann immer ich besagten Namen mit Zwischenraum schreibe, so dass der dumme Editor es nicht erkennt.   Bekomme ich Kommentare von gewissen   unaus- äh unwiderstehlichen Herren, ob ich sie denn durchaus erzürnen wolle.  Ja was denn so schlimm sei an Pipapo.  Antwort: Ich betriebe Schleichwerbung.  Schleichwerbung für ein fossiles Portal ...

   Pipapo hatte etwas von einem Brainstorming; es war deshalb gut, weil du da laut denken konntest.  Ob zum Beispiel ein matematischer  Lösungsansatz  professionell oder laienhaft war; ob die Lösung einer Hausaufgabe einen Lehrer überzeugen konnte -  das intressierte die Moderation kein bisserl.  Die Wahrheit ist:  Bei denen hab ich mehr  Mathe gelernt als hier.

   Ja und eines Tages stand eben das Volumenproblem  der Bushaltestelle im Netz. Ich möchte doch im Sinne einer Klärung einige Bezeichnungen fest legen.  Wir gehen aus von einem cartesischen Achsenkreuz  xyz  .  Dabei verläuft die Abszisse x parallel zur Straße, die Ordinate z zeigt vertikal gen Himmel, und y deutet in die Tiefe .

   Ich erhielt einen Kommentar von einem Genie, dessen Name mir längst entfalölen ist:

   " Gesetzt einmal, das Volumenproblem des Quaders wird durch den Würfel gelöst. "

   Was  übrigens stimmt; die Rechnung verläuft ganz analog   (  1.1a-7 )   Nur eben; ein Quader ist symmetrisch.  Hier sind die drei Veränderlichen x , y und z gleichberechtigt;  da erwartest du ja sxhon das Ergebnis x = y = z .

   Dagegen bei Schuhkarton ( so wie oben )  und Bushaltestelle fehlen ja bestimmte Wände, was die Rechnung sehr erschwert.  Und hier nun wurde mir der Einsatz einer Symmetrie vorgeschlagen:

   " In die vorne offene Seite der Bushaltestelle (  xz-Ebene )  setze ich den Spiegel S1 ein.  Sei B =: B1 die Bushaltestelle;  ihr Spiegelbild B2 ist ja zu ihr kongruent.

   Hernach lasse ich den Spiegel  S2 in die Bodenfläche ein  ( xy-Ebene )  ; dieser erzeugt von B das Spiegelbild B3 .

   Jetzt entstehen aber auch Spiegelbilder der beiden Spiegel.  Das Bild von S1 in S2 bezeichne ich mit S1  '   ;  und S1  '  erzeugt von B3 das Spiegelbild B4 .

   Analog entsteht  S2  '  ; wir müssen aber beachten,  dass das Bild von B2 in  in  S2  '  identisch ist mit  B4  .

   Summa summarum  schließen sich B1;2;3;4  zu einem geschlossenen Quader  Q  . Da ja alle Bilder kongruent sind,   ist die Oberfläche von Q  das 4-fache der Bushaltestelle;  entsprechend für das Volumen von Q .

   Das Volumenproblem  von Q ist äquivalent der Bushaltestelle.

   Q  können wir aber lösen. Welche Kanten hat  Q?  x ,  2 y so wie 2 z  ;  der Faktor  2 kommt jeweils durch die Spiegelung herein.

   Wann ist Q ein Würfel?


      x  =  2  y  =  2  z     (  2.1  )


    Was mich so auszeichnet;  niemand hört zu.  Kennst du die ===>  Kaffeekantante?

   "  Was ich immer alle Tage

     Meiner Tochter Lieschen sage

     Gehet ohne Frucht vorbei. "

   Ich hab mir's zu Herzen genommen;  bei normalen Schulaufgaben so wie hier kommst du durchaus mit einem Spiegel hin.

   Es ist genau wie  Schrödinger und Wigner. Und? Wenn ich mich zufällig verrechnet habe?

   Und jetzt legen wir den Spiegel oben auf den Schuhkarton;  unsere Achsen sind x , y und 2 z .   Aber wie berücksichtigen wir die Kosten?

   Vielleicht so.  Lass doch x-und y-Achse mit ihrer natürlichen Teilung; dagegen auf z führen wir den neuen Maßstab ein


     z  '  :=  b  z  /  a         (  2.2  )


   Dann sehen wir direkt an dem Materialverbrauch der vertikalen Wände, " wo unser Geld bleibt "

   Doch halt; stimmt dann unser Volumen noch?  Aktion Radio Erivan

    " Im Prinzip ja. "

   Denn vor alle zugelassenen Quader tritt doch nur der konstante Faktor b / a


     x  =  y  =  2  z  '  =  2 b z / a     (  2.3  )


   in  Übereinstimmung mit  (  1.7  )

Was ist eigentlich ständig für eine komische Darstellung?

  Wieso komisch? Doch; ich selbst kenne zwei Witze über Matematik  ( Wohl gemerkt ich kenne sie nur;   ich habe sie mir bei Leibe nicht selbst ausgedacht. )  Dies machte immerhin einen User der Art eifersüchtig auf mich, dass er einen meiner Beiträge kritisierte mit den Worten

    " Hier ich kenn auch einen  Witz ... "

   Z.B. ein Kabarettist  oder Clown  muss die Grundregel jedes Kasperlespiels bedenken:

   " Stell dich immer dümmer als der dümmste deiner Zuschauer. "

   Es wäre z.B. nicht geraten,  Witze zu machen über Integralrechnung, Kreuzprodukt und e Hoch x .    So gibt es beispielsweise einen Limerick über die spezielle Relativitätsteorie ( SRT )   Du kannst  aber nur lachen, wenn du die  SRT  genau verstanden hast - ansonsten erschließt sich dir sein Sinn überhaupt nicht

    " There once was a lady named Bright ... "

      Zurück zu dem Komiker.   Auf der Bühne steht also eine große Schiefertafel. Und da tut der jetzt schriftliche Multiplikationen vorrechnen wie in der Schule -  natürlich alles voller Rechenfehler.  Aber eben solche Fehler, dass der ganze Saal lacht ...

   Und dann macht der die Probe mit der Art überraschenden und naiven Fehlern, dass das Ergebnis scheinbar doch aufgeht -  Einzelheiten leider nicht mehr erinnerlich.  Und der Saal   rast und tobt ...

    Weil was soll komisch sein an einer Darstellung des Lagrangeverfahrens?   Ein Urteil darüber würde ich dir eh nur gestatten, wenn du jenes Verfahren souverän beherrschst. Zumal ich die Forderung aus den Guidelines beachtet habe, hier keinen Nachhilfeunterricht in Lagrange zu geben,  sondern mich auf die Lösung der Aufgabe zu beschränken.

    Zumal das Wort  "  Komisch  "  für mich eine gänzlich andere Konnotation hat als bei dem Rest der Bevölkerung. Ich hatte mal eine japanesische Kommilitonin; Mitiko  aus Kobe.   Die sagte das recht oft in ihrem abgehackten japanischen Akzent

    " Dassiiiiis  kooo   miiich . "

     mit der Betonung auf dem " Mich "  Was sie damit wirklich meinte -  nun. Wenn du sehr höflich zu mir bist, will ich es dir gerne sagen ...

Mit diesem Beitrag hast Du meinen 'test' bestanddn. Ich mag dich! Ich weiss allerdings nicht, wieso andere hier im forum dir gegenüber so negatov eongestellt sind. Mach weiter so wie bisher. Du bist eine bereicherung für dieses Forum!

War wohl dieser :


Video nicht verfügbar, hajott.

Auf meinem Rechner geht es, auf meinem Handy nicht, aber dort funktioniert
Link.JPG

keine Ahnung, warum.

Erwartest Du ernsthaft, dass ich den Link abtippe? Maskier ihn doch!

Da ich mich mit YouTube nicht auskenne, hatte ich versäumt, das Video "öffentlich" zu schalten. Ich hoffe, dass es jetzt funktioniert.

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Länge = 2x
Breite = x
Grundfläche ( 2 * x )  *  x
Volumen 2 * x^2 * h = 100

Preis
Grundfläche * 2 Cent plus
Seitenflächen * 4 Cent
Seitenflächen ( 2*x + x ) * 2 * h
Preis = 2*x^2 * 2 + 3x * 2 * h * 4

2 * x^2 * h = 100
h = 100 / ( 2*x^2 )

Preis = 2*x^2 * 2 Cent + 3x * 2 * h * 4 Cent
Preis = 2*x^2 * 2 + 3x * 2 *100 / ( 2*x^2 )  * 4
Preis = 4*x^2 + 1200 / x 
1.Ableitung
Preis ´ ( x ) = 8*x - 1200 / x^2
8*x - 1200 / x^2 = 0
x = 5.31 m

Bitte nachprüfen.
Bei Fragen wieder melden.

von 111 k 🚀

Ich komme als dein "Vor-arbeiter" auf dasselbe Ergebnis. :))

Du warst zeitlich knapp vor mir.
Ein paar Minütchen.

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a = 2·b

a·b·c = 100
2·b·b·c = 100 --> c = 50/b^2

K = a·b·2 + 2·(a + b)·c·4 <-- Hier werden die Materialkosten eingebaut
K = 2·b·b·2 + 2·(2·b + b)·c·4
K = 4·b^2 + 24·b·c
K = 4·b^2 + 24·b·50/b^2
K = 4·b^2 + 1200/b
K' = 8·b - 1200/b^2 = 0 --> b = 150^{1/3} = 5.313 m

c = 50/(150^{1/3})^2 = 150^{1/3}/3 = 1.771 m

a = 2·150^{1/3} = 10.627 m

von 388 k 🚀

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