Nullstellen von x*sin(x) = -4/pi *x^2 +47/3 * x -35*pi /3

Question

x*sin(x) = -4/pi *x^2 +47/3 * x -35*pi /3

Lösung: x1 = Pi ,  x2 = (5/2)*pi  (Wolfram Alpha)

 Aber wie komme ich darauf ?

Wie rechnet man es und wie kriege ich die Sinusfunktion in den Griff.

Answer 1

Hallo

Also ich bekomme das nur numerisch mit dem Newtonverfahren hin. Ansatz:

$$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$

Definiere eine Differenzenfunktion f

$$ f(x):=-\frac{4}{\pi}x^2+\frac{47}{3}x-\frac{35}{3}\pi-x\sin(x)=\frac{1}{3\pi}(-12x^2+47\pi x-35\pi^2-3\pi x\sin(x))=0\\f'(x)=\frac{1}{3\pi}(-24x+47\pi-3\pi\sin(x)-3\pi x\cos(x)) $$Dann hat man:

$$ x_{n+1}=x_n-\frac{\frac{1}{3\pi}(-12x_n^2+47\pi x_n-35\pi^2-3\pi x_n\sin(x_n))}{\frac{1}{3\pi}(-24x_n+47\pi-3\pi\sin(x_n)-3\pi x_n\cos(x_n))}\\=x_n-\frac{-12x_n^2+47\pi x_n-35\pi^2-3\pi x_n\sin(x_n)}{-24x_n+47\pi-3\pi\sin(x_n)-3\pi x_n\cos(x_n)} $$

Dann habe ich mich mit einer Skizze beholfen, um einen Startwert festzulegen:

~plot~ x*sin(x);-4/pi*x^2+47/3x-35/3pi;-4/pi*x^2+47/3x-35/3pi-x*sin(x);[[2|11|-3|12]] ~plot~

Der grüne Graph repräsentiert die Differenzenfunktion f.

In beiden Bereichen von 3≤x≤4 und 7≤x≤8 findet ein Vorzeichenwechsel der Funktion statt. Nun soll mittels Newtonverfahren bei beiden Intervallen diese Stelle näherungsweise bestimmt werden.

Für 3≤x≤4

Startwert x1=3 und 6 Durchgänge liefern die Approximation:

$$x_1=3\\x_2=3.141342846242714\\ x_3=3.141592652013718\\ x_4=3.141592653589793\\ x_5=3.1415926535897927\\ x_6=3.1415926535897936\\ x_7=3.141592653589793\\$$

Für 7≤x≤8

Startwert x1=7 und 6 Durchgänge liefern die Approximation:

$$x_1=7\\x_2=7.7447320439277885\\ x_3=7.848851886629371\\ x_4=7.853968632257283\\ x_5=7.85398163389037\\ x_6=7.853981633974487\\ x_7=7.853981633974483\\$$