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ich habe die Aufgabe von der Funktion f(x)=ln(x) zuerst eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x0 = 4 zu bilden und dann von dieser den Konvergenzradius und den Konvergenzberreich zu berechnen.

Das Ergebnis der Taylorreihe ist bei mir:

$$f\left( x \right) =\ln { 4 } +\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { -((-4k) }^{ k }) } *{ (x-4) }^{ k } }$$

wenn ich nun den Konvergenzradius berechnen will nutze ich ja die Formel:

$$r=\lim _{ k\xrightarrow {  } \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } }  \right|  }$$

da gilt:$${ a }_{ k }=\frac { 1 }{ { -((-4k) }^{ k }) }$$

kam ich zu dem Ergebniss:

$$r=\lim _{ k\xrightarrow {  } \infty  }{ \left| \frac { { -((-4(k+1)) }^{ (k+1) }) }{ { -((-4k) }^{ k }) }  \right|  } $$

An dieser Stelle stoße ich jedoch auf einige Probleme beim berechnen des Grenzwertes, da mir jegliche Idee fehlt den Bruch zu vereinfachen.

Ich hoffe mir kann hier jemand helfen

Schonmal Danke :)

von

Vom Duplikat:

Titel: Taylorreihe konvergenzbereich

Stichworte: konvergenz,potenzreihe,taylorreihe

Y= f(x)=ln x als taylorreihe mit entwicklungspunkt x0 =  4 


Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihe

Warum erhält man diesen Bereich ?

Wie lautet denn deine Reihe?

Da steht entwickeln sie y= f(x) =lnx als Taylorreihe mit entwicklungspukt x0=4

Ja, ich weiß. Aber was hast du als Ergebnis für die Reihe raus???

Leider hab ich die aufgabe nicht verstanden :(

Was verstehst du denn nicht an dieser Aufgabe?

2 Antworten

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Beste Antwort

leider stimmt hier schon deine Taylorreihe nichtmehr. Die k-te Ableitung an der Stelle x=4 lautet:

$$ f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1}\cdot\frac{(k-1)!}{x^k} $$

$$ f^{(k)}(4)=(-1)^{k-1}\cdot\frac{(k-1)!}{4^k} $$

Dass die Ableitung für alle k≥1 stimmt müsste dann noch per Induktion beweisen werden. Ist aber eine Kleinigkeit.

In die Taylorformel eingesetzt ergibt das:

$$ f(x)=T_{nf}(x;4)=\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^n{\frac{f^{(k)}(4)}{k!}\cdot(x-4)^k} \Bigg) +R_n(x)\\=\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^n{(-1)^{k-1}\cdot \frac{(k-1)!}{4^k\cdot k!}\cdot(x-4)^k} \Bigg) +R_n(x)\\=\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^n{(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k}\cdot(x-4)^k} \Bigg) +R_n(x)$$

Jetzt muss man noch dieses blöde Restglied Rn(x) loswerden, um dann eine Reihe schreiben zu können. Dafür wird nach Lagrange eine Restgliedabschätzung gemacht.

$$ \text{Für } x\in]0,8] \text{ und einem } \xi \text{ zwischen } x \text{ und } 4 \text{ ergibt sich:} $$

$$ |R_n(x)|=\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot(x-4)^{n+1} \Bigg|=\Bigg|(-1)^{n}\cdot \frac{n!}{\xi^{n+1}}\cdot \frac{1}{(n+1)!}\cdot(x-4)^{n+1} \Bigg|\\\leq \Bigg|\frac{1}{(n+1)\cdot\xi^{n+1}}\cdot(x-4)^{n+1} \Bigg|\leq\Bigg|\frac{1}{(n+1)\cdot 4^{\ n+1}}\cdot(8-4)^{n+1} \Bigg|=\Bigg|\frac{1}{n+1}\Bigg|=\frac{1}{n+1}\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 $$

Weil das Restglied also gegen Null geht gilt nun:

$$ f(x)=\lim_{n \to \infty}\Bigg(\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^n{(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k}\cdot(x-4)^k} \Bigg) +R_n(x)\Bigg)\\=\ln(4)+\Bigg(\sum_{k=1}^\infty{(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k}\cdot(x-4)^k} \Bigg) $$

Jetzt komm ich zum Konvergenzradius. Das ganze mache ich mal mit Wurzelkriterium.

$$ \limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{\Bigg|(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k} \Bigg|}\\=\limsup_{k \to \infty}\Bigg| \frac{1}{\sqrt[k]{4^k\cdot k}}\Bigg|=\frac{1}{4}\stackrel{|x|<8}{<}1  $$

Dann hat man als Konvergenzradius:

$$ R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}{\sqrt[k]{|a_k|}}} \Rightarrow \qquad R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}{\sqrt[k]{(-1)^{k-1}\cdot \frac{1}{4^k\cdot k}}}}=4 $$

Jetzt hat man folgenden Konvergenzbereich

$$ x \in\{x \in \mathbb{R}:|x-x_0|<R\}\\ \Rightarrow \quad x \in\{x \in \mathbb{R}:|x-4|<4\}=]0,8[ $$

von 12 k

erstmal Danke für deine ausführliche Antwort.

Ich habe noch die frag ob man hier das Wurzelkriterium verwenden muss oder ob das Quotientenkriterium genauso möglich ist und wenn warum mann das Wurzelkriterium braucht.

ok spielt keine Rolle mehr ich habe mit dem Quotientenkriterium nach einigem Umformen das selbe rausbekommen

Ja genau, Quotientenkriterium geht auch. Falls du noch Schwierigkeiten haben solltest hier noch ein Link, wo eine andere Reihe behandelt wurde.

https://www.mathelounge.de/543236/bestimmen-sie-den-konvergenzbereich-der-reihen

+1 Daumen

  Kannst du eigentlich ===>  Funktionenteorie? Der Konvergenzkreis erstreckt sich immer bis zur nächsten Singularität;  hier wäre das R = 4 . Innerhalb konvergiert die Reihe absolut; außerhalb divergiert sie .

von 5,5 k

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