leider stimmt hier schon deine Taylorreihe nicht mehr. Die k-te Ableitung an der Stelle x=4 lautet:
f(k)(x)=(−1)k−1⋅xk(k−1)!
f(k)(4)=(−1)k−1⋅4k(k−1)!
Dass die Ableitung für alle k≥1 stimmt müsste dann noch per Induktion beweisen werden. Ist aber eine Kleinigkeit.
In die Taylorformel eingesetzt ergibt das:
f(x)=Tnf(x;4)=ln(4)+(k=1∑nk!f(k)(4)⋅(x−4)k)+Rn(x)=ln(4)+(k=1∑n(−1)k−1⋅4k⋅k!(k−1)!⋅(x−4)k)+Rn(x)=ln(4)+(k=1∑n(−1)k−1⋅4k⋅k1⋅(x−4)k)+Rn(x)
Jetzt muss man noch dieses blöde Restglied Rn(x) loswerden, um dann eine Reihe schreiben zu können. Dafür wird nach Lagrange eine Restgliedabschätzung gemacht.
Fu¨r x∈]0,8] und einem ξ zwischen x und 4 ergibt sich :
∣Rn(x)∣=∣∣∣∣∣∣(n+1)!f(n+1)(ξ)⋅(x−4)n+1∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣(−1)n⋅ξn+1n!⋅(n+1)!1⋅(x−4)n+1∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣∣(n+1)⋅ξn+11⋅(x−4)n+1∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣∣(n+1)⋅4 n+11⋅(8−4)n+1∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣n+11∣∣∣∣∣∣=n+11⟶n→∞0
Weil das Restglied also gegen Null geht gilt nun:
f(x)=n→∞lim(ln(4)+(k=1∑n(−1)k−1⋅4k⋅k1⋅(x−4)k)+Rn(x))=ln(4)+(k=1∑∞(−1)k−1⋅4k⋅k1⋅(x−4)k)
Jetzt komm ich zum Konvergenzradius. Das ganze mache ich mal mit Wurzelkriterium.
k→∞limsupk∣ak∣=k→∞limsupk∣∣∣∣∣∣(−1)k−1⋅4k⋅k1∣∣∣∣∣∣=k→∞limsup∣∣∣∣∣∣k4k⋅k1∣∣∣∣∣∣=41<∣x∣<81
Dann hat man als Konvergenzradius:
R=limsupk→∞k∣ak∣1⇒R=limsupk→∞k(−1)k−1⋅4k⋅k11=4
Jetzt hat man folgenden Konvergenzbereich
x∈{x∈R : ∣x−x0∣<R}⇒x∈{x∈R : ∣x−4∣<4}=]0,8[