Nullstellen von Polynomen f(z) = 2z^2-6z+4

Question

gegeben ist 2z^2-6z+4

würde erstmal die zwei ausklammern also

2(z^2-3z+2)

soll ich das nun mit der pq formel berechnen oder gibt es einen einfacheren weg?

Answer 1

Ja - die pq-Formel führt zum Ziel und ist in diesem Fall auch einfach \(x_{1,2}=\frac32 \pm \sqrt{\frac94 -2}\) - also \(x_1=1\) und \(x_2=2\). man kann die Lösung aber nach dem Satz von Vieta auch 'sehen'. Nach dem Satz von Vieta ist

$$p = -(x_1 + x_2); \quad q=x_1 \cdot x_2$$

Und die \(2\) (also das \(q\)) läst sich nur auf zwei Arten in ein (ganzzahliges) Produkt verwandeln. Das ist \(2=1 \cdot 2\) und \(2=-1 \cdot (-2)\). Zähle ich die beiden Faktoren zusammen (das schaffe ich gerade noch im Kopf), so passt

$$p =-3 = -(x_1 + x_2) = -(1 + 2)$$ also ist die Lösung \(x_1=1\) und \(x_2=2\).

Gruß Werner

Answer 2

Wieso? Das geht doch mit der PQ-Formel hervorragend. Du kannst als Alternative in Linearfaktoren zerlegen.

Zerlegung in Linearfaktoren:$$x^2+px+q=(x-x_1)\cdot (x-x_2)$$ Auf deine Frage bezogen:$$z^2-3z+2=(z-2)\cdot (z-1)$$Satz von Vieta: Du kannst außerdem den Satz von Vieta verwenden, jener besagt folgendes:$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2$$ Suche also Werte, die dein genanntes Polynom darstellen würden.

Comments

Danke für deine Hilfe!

Bitte bei der Bearbeitung von Überschriften - vor Termen vermeiden. Das ist eine unnötige Fehlerquelle.

Ich habe das Zeichen durch "f(z)=" ersetzt.

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Du hast recht, das könnte als missverstanden werden. Obwohl laut DIN 5008 ein Vorzeichen unmittelbar hinter einer Zahl steht.

Siehe: 8.2 Vorzeichen

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Schon klar. Praktisch niemand hält sich daran und wer verwendet schon das  DIN Minus bei Subtraktionen.

Link ist cool.

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Niemand, aber musste das lernen für eine Prüfung heute!

Sieht echt komplett sch*** aus:

DIN 5008 konforme Rechenaufgabe:

25 + 12 = 37

25 - 12 = 13

Vorallem das Multiplikationszeichen:

9 . 3 = 27

9 x 3 = 27

Aber manche Sachen sind schon ganz gut zu wissen.

EDIT: 

Als Beispiel:

Zum Beispiel wird nicht "z.B." abgekürzt, sondern "z. B."

Oder was ich auch nicht wusste ist folgendes:

Er sagt: "Ich lese die Zeitschrift 'Der Chef' sehr gerne"

Die beiden Apostrophe innerhalb eines Zitats.

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Aha. Scheusslich. Deine Prüfung ist dann sicher super gelaufen.

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In der Tat. Habe nun endlich mein erweitertes ECDL-Zertifikat.

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Gratuliere dir !