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ich brauche bei folgender Aufgabe Hilfe.

Es seien U = <( i ,1 , 0)> und W= <( 1, -1, 3)> und v= ( 2, 3i-1, 3)

Bestimmen Sie den Abstand von U und v+W bezüglich <-,-> und berechnen sie die dazugehörigen Lotfußpunkt.

Ich weiß: d(U, v+W)=|| π(U+W)^{T} (v) ||. (T sollte auf dem Kopf stehen und ist eine orthogonale Projektion)

Mein Problem besteht bei folgender Rechnung

(U+W)^{T}

Sobald ich dort ein Ergebnis habe sollte ich durch ein Gleichungssystem den Lotfußpunkt bestimmen können und dann auch den Abstand.

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(U+W)^{⊥} . Das sind alle Vektoren von ℂ^3  , die auf allen von U+W senkrecht stehen.

Das sind die, die sowohl aus  ( i ,1 , 0)  als auch auf   ( 1, -1, 3) senkrecht stehen.

Wenn also (x,y,z) ∈ (U+W)^{⊥}  ist, dann gilt :

 ix + y = 0     und   x - y + 3z = 0

       y = -ix    und    x +ix + 3z = 0

        y = -ix    und     z = ( -x -ix ) / 3 = 0

mit x = 3c wäre das z.B. y = -3ic   und z = (-i-1)c

für alle c∈ℂ.

Also alle Vielfachen von (  3 ;   -3i  ;  -i-1)  .

Kannst du aber auch mit dem Kreuzprodukt bestimmen.

von 228 k 🚀
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    Ich muss doch wieder mal meinen Senf dazu geben. Also erstens einen massiven Protest gegen die hoch verehelichten Herren Moderatoren und ihre löblichen Guidelines.

   Dieses ist und bleibt ein Abschreibeforum; und seinen angeblich " guten Ruf " bezieht es genau daraus.  Hier bettelte Tatsache mal ein Student, WIR sollen ihm sein Gelump hinterher räumen, weil ER  für seine Aufgabe besonders viel Punkte kriegt ...

   Weil es ist doch sehr erhellend, wenn man wenigstens den Originaltext der Aufgabe zu lesen kriegt. Ich schnalle echt nicht, warum dies verboten sein soll; denn die Studenten, die hier von der Aufgabe bloß eine Nacherzählung anfertigen,  unterliegen stärksten psychischen Projektionen - ein Effekt, den man anderweitig kennt,  wenn ich jemandem eine Geschichte erzähle. Und der erste erzählt sie dem zweiten weier, der zweite dem dritten ...  Und hier sieht man schon die verheerenden Auswirkungen, wenn du erst bei dem zweiten angelangt bist ( Der erste ist ja der Prof )

   Nur mal ein Beispiel. Hier kam mal eine Aufgabe -  sie ist mir nur deshalb so deutlich in Erinnerung, weil sie ohne Gnade jeden Tag mit schöner Regelmäßigkeit wieder auftauchte. Symmetrische Matrizen. Da ich in der Lage war, mit der Original Aufgabe zu vergleichen, war unmittelbar erkennbar, dass sich die meisten Lösungsansätze in wilde Fantastik verstiegen hatten.

   Gleich einem geübten Juristen, der sich auf das klein Gedruckte konzentriert, fand ich eines Tages heraus:  Quasi als Schutzklausel gegen Konventionalstrafen hatte der Prof in einem Unterpunkt eingefügt,   die " Charakteristik seines Körpers dürfe nicht 2 "  betragen.

      Ich bezweifle, dass dieser Passus auch nur einem der Hilfe Suchenden aufgefallen ist.

   Genau so bei dir;  wo befinden wir uns eigentlich?  Im |C  ³  ?  

   Ich will Karl-egon eimer der Abwaschbare heißen, wenn der Originaltext der Aufgabe darüber nichts aussagt.  Fehlt bei dir völlig; du schwärmst uns lediglich vor, was du vermutest und was du glaubst, was du sollst.

   Um die Moderatoren gnädig zu stimmen.

    Die sind nämlich längst nicht mehr bereit, deine Arbeit zu machen - die Zeiten kommen nicht wieder.

   Nein; die gleichen sich hier immer mehr den Gepflogenheiten bei jenem Forum " Pipapo " an, dessen Klarname bei Strafe der Exkommunikation nicht genannt werden darf.  Bei Pipapo nämlich meldeten sich bei jeder Mathefrage  ehemalige Fünfer Schüler zu Wort

   " Ich bin doch nicht plem. DIES IST KEIN HAUSAUFGABENFORUM ( GUIDELINES ! )

    Wenn du nicht  selber übst, lernste doch nix ... "

   Dem viel beschworenen guten Ruf von Matelounge wäre es durchaus zuträglich, wenn hier nur noch Verständnisfragen und keine Hausaufgaben zum Abpinnen mehr gestellt werden dürften.

   Doch jetzt zu der eigentlichen Problematik hinter deiner Aufgabe.  Wie dir bekannt, sind ja der ( reelle ) Vektorraum |R ² und der komplexe |C = |C  ^ 1  isomorph.

   Jetzt betrachte mal die reelle Zahl 1 .  Wenn ich nur reelle Linearkombinationen ( LK ) zulasse, erzeugt die Eins einen Strahl.  Fasse ich jedoch die Eins auf als komplexe Zahl, bilden alle komplexen Vielfachen der Eins bereits die ganze Ebene - und keine Gerade.

   Das genau ist die tiefe Problematik hinter deiner Nacherzählung. Deine Notation wirkt verführerisch wie die Parameterform einer 3 D Geraden - ist es aber gar nicht.

   Ein komplexer Richtungsvektor im |C  ³  ist äquivalent einem Richtungsvektor im  |R  ^  6  .   Trotz der komplexen Koordinaten hätte es also durchaus Sinn, sich auf rein reelle LK zu beschränken.  Das entspräche dann der Frage, ob sich zwei Geraden im |R  ^ 6  schneiden bzw. welchen Abstand sie haben .   Sei  P  €  U  und Q  €  v  +  W  Dann lässt sich ein beliebiger Punkt aus U doch schreiben


          P  '  =  P  +  k1  u        (  1a  )


         mit


        u  =  (  i  |  1  |  0  )       (  1b  )

      Q  '  =  Q  +  k2  w      (  2a  )

      w  =  (  2  |  3  i  -  1  |  3  )     (  2b  )


    Und der kürzeste Abstand wird jetzt erreicht bei


   D  (  k1  ;  k2  )  =  <  Q  '  -  P  '  |  Q  '  -  P  '  >  =  min          (  3a  )

     =  <  Q  -  P  +  k2  w  -  k1  u  |  Q  -  P  +  k2  w  -  k1  u  >     (  3b  )


     Jetzt musst du aber  (  3b )   mit der Produktregel ableiten; was passiert?


   ( dD/dk2 )  =  <  w  |  Q  -  P  +  k2  w  -  k1  u  >  +  <  Q  -  P  +  k2  w  -  k1  u  |  w  >  =  0   (  3c  )


   Dies ist NICHT die Aussage, dass hier das Skalarprodukt verschwindet geschweige irgendetwas senkrecht steht. Im Komplexen ist ja das Skalarprodukt nicht symmetrisch; es ist die Aussage, dass lediglich der Imagteil des Skalarprodukts Null wird.  Vermagst du mir so weit geistig zu folgen?

   Du kannst dir das übrigens anschaulich klar machen, wenn du den |C ^  1  =  |R  ²   betrachtest.  Was ist der kürzeste Abstand zwischen zwei parallelen Geraden?  Den Richtungvektor der Geraden kannst du ja auch komplex angeben als exp ( i ß )  Und jetzt stell dir mal vor, das ( komplexe )  Skalarprodukt würde verschwinden.  Das Skalarprodukt zwischen zwei ( einkomponentigen )   komplexen Zahlen a und b wäre doch  weiter nichts  als  ( a * ) b  Und nach dem Satz vom Nullprodukt müsste entweder a oder b Null sein.

   Nein unser reelles senkrecht Stehen drückt sich aus, indem nur der Imagteil des komplexen Skalarproduktes verschwindet.

     Ich will das hier nicht weiter verfolgen; du kannst ja mal den Abstand berechnen, der sich aus ( 3c ) ergibt.   Du darfst ja eines nicht vergessen: So bald die beiden Parameter k1;2 komplexwertig werden,  stellt ( 3b ) keine ===>  holomorphe ( differenzierbare ) Funktion mehr im Sinne der Funktionenteorie dar;  du darfst daher gar nicht nach k1;2 ableiten - warum?  Betrachte mal


     <  k1  x  +  k2  y  |  k1  x  +  k2  y  >  =     (  4a  )

    = k1 * k1 | x | ²  + k1 * k2 < x | y > + k2 * k1 < y | x > + k2 * k2 < y | y >    (  4b  )


     Du hast immer gleichzeitig einen Parameter und sein komplex Konjugiertes. Du könntest höchstens sagen, du leitest getrennt ab nach Realteil k1 und Imagteil k1 .  Doch die Rettung naht .

   So unglaublich es klingt; ===>  Eugen Fi ck in seinem epochalen QM  Lehrbuch hat ein Lemma bewiesen, wonach es rein formal erlaubt ist, eine Funktion von k und k *  nach k abzuleiten, als WÄRE k *  EINE KONSTANTE .  Wir leiten daher dein Skalarprodukt nach dem rechten Faktor ab und ignorieren den linkeneinfach.   Jetzt lautet  ( 3b )


  D = < 1 + 2 k2 - i k1 ; -1 + ( 3 i - 1 ) k2 - k1 ; 3 ( k2 + 1 ) | 1 + 2 k2 - i k1 ; -1 + ( 3 i - 1 ) k2 - k1 ; 3 ( k2 + 1 )      (  5a  )


   ( dD/dk1 ) = < 1 + 2 k2 - i k1 ; -1 + ( 3 i - 1 ) k2 - k1 ; 3 ( k2 + 1 ) | - i  ; - 1 ; 0 >   =  0    (  5b  )

     (  1  -  8  i  )   k2  =  i  -  1       (  5c  )

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