Bestimmen Sie den entsprechenden Reihenwert.

Question

Gegeben sei die Funktion f : (-1/4, -5/12) → ℝ,

          
f(x) = ∑ (von k=1 bis + ∞) (12x + 4)^k

Berechnen Sie den Reihenwert f ' (-11/36)

Answer 1

Hallo

das ist die geometrische Reihe für q=12x+4, deren GW kennst du sicher und ableiten ist auch nicht schwer.

Gruß lul

Answer 2

Erst einmal sollte es wohl $f : \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)\to\mathbb{R}$ statt $f : \left(-\frac{1}{4}, -\frac{5}{12}\right)\to\mathbb{R}$ lauten. Denn es ist $-\frac{5}{12}<-\frac{1}{4}$, weshalb $\left(-\frac{1}{4}, -\frac{5}{12}\right)=\emptyset$ die leere Menge wäre.

==========

Verwende die Summenformel für geometrische Reihen ...

Für $\left\lvert q\right\rvert<1$ ist $\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}\text{.}$

... für $q = 12 x +4$.

Für alle $x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)$ ist $12 x + 4 > 12\cdot \left(-\frac{5}{12}\right)+4 = -5 + 4 = -1$ und $12 x + 4 < 12\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)+4 = -3 + 4 = 1$ und damit $\left\lvert12 x + 4\right\rvert<1\text{.}$

Mit der Formel für die geometrische Reihe erhält man demnach $\sum_{k = 0}^{\infty}\left(12 x + 4\right)^k = \frac{1}{1-\left(12 x + 4\right)} = \frac{1}{-12x - 3}$ für alle $x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)$.

Damit erhält man $\begin{aligned}f(x) & = \sum_{k = 1}^{\infty}\left(12 x + 4\right)^k = \underbrace{-\left(12x + 4\right)^0}_{=-1} +\left(12x + 4\right)^0 + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(12 x + 4\right)^k \\& = -1 + \sum_{k = 0}^{\infty}\left(12 x + 4\right)^k = -1 + \frac{1}{-12 x - 3}\end{aligned}$ für alle $x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)$.

Damit hat man nun $f(x) = -1 + \frac{1}{-12 x - 3}$ für alle $x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)$.

Das kann man nun wie gewohnt ableiten.

Für alle $x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)$ ist $f'(x) = 0+ \frac{0\cdot \left(-12 x - 3\right) - 1\cdot \left(-12\right)}{{\left(-12 x - 3\right)}^2} = \frac{12}{\left(-12 x - 3\right)^2}\text{.}$

Damit ist dann $\begin{aligned}f'\left(-\frac{11}{36}\right) & = \frac{12}{\left(-12\cdot\left(-\frac{11}{36}\right) - 3\right)^2} = \frac{12}{\left(\frac{11}{3} - 3\right)^2} \\ & = \frac{12}{\quad\left(\frac{2}{3}\right)^2\quad} = \frac{12}{\quad\frac{4}{9}\quad} = 12\cdot\frac{9}{4} = 27\text{.}\end{aligned}$