Hallo Jesco,
kennst du die Äquivalenz "A invertierbar" g.d.w. "A besitzt vollen Rang"? Mit der geht das relativ einfach:
Schauen wir uns einfach mal eine Matrix \( A \in \text{GL}(2,\mathbb{F}_q) \) an, diese hat die Form
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$
Das A vollen Rang hat bedeutet, dass der Zeilenrang von A gleich 2 ist, insbesondere müssen die beiden Zeilen also linear unabhängig sein (ansonsten wäre er 0 oder 1). Wie viele Matrizen mit vollem Rang können wir "basteln"?
Für die Zeile (a b) gibt es insgesamt \( q^2 \) Wahlmöglichkeiten, aber da wir die Nullzeile ausschließen müssen (sonst hat die Matrix keinen vollen Rang) bleiben in Wirklichkeit nur \( q^2 - 1 \) Möglichkeiten.
Die zweite Zeile (c d) müssen wir jetzt so wählen, dass die beiden Zeilen linear unabhängig sind. Es sind also alle Vielfachen von (a b) auszuschließen. Da unser Körper genau q Elemente besitzt, sind das auch q Stück. Wir erhalten hier also \( q^2 - q \) weitere Wahlmöglichkeiten.
Insgesamt dann eben $$ \left| \text{GL}(2,\mathbb{F}_q) \right| = (q^2 - 1)(q^2 - q ) $$
Man kann diese Überlegungen übrigens verallgemeinern und erhält dann:
$$ \left| \text{GL}(n,\mathbb{F}_q) \right| = \prod_{i=1}^n (q^n - q^{i-1}) $$
