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Hallo:

Wie viele invertierbare (3x3)-Matrizen gibt es in ℤ2 ?

Hinweis: Die Spalten sind linear unabhängig.

 

Wie beweist man so etwas?

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Kann mir keiner einen Tipp geben?

1 Antwort

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Eine Matrix ist genaudann invertierbar, wenn ihre Spalten linear unabhängig sind:

die erste Spalte darf also nicht Null sein, d.h. für die 1-te Spalte gibt es \(8-2^0=7\) Möglichkeiten.

Die zweite Spalte darf nicht im Span der ersten Spalte liegen. Dieser besteht aus 2 Vektoren,

also bekommen wir für die 2-te Spalte für jeden Wert der ersten Spalte \(8-2^1=6\) Möglichkeiten.

Die dritte Spalte darf nicht in dem Unterraum liegen, der von den ersten beiden Spalten

aufgespannt wird. Dieser Unterraum enthält \(2^2=4\) Vektoren, also gibt es für die

3-te Spalte noch \(8-2^2=4\)  Möglichkeiten, insgesamt also \(7\cdot 6\cdot 4=168\).

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