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Sei X eine beliebige Menge und P(x):= {A c X} die Potenzmenge von X, das heißt, die menge aller Teilmengen von X. Zu A,B in P(X) definieren wir die symmetrische Differenz als

             A ° B := (A\B) u (B\A)

Zeigen Sie ,dass (P(X),°) eine Gruppe ist.

Ich weiß zwar die eigenschaften einer gruppe ( assoziativ, neutrales Element, inverses Element), aber wie zeige ich das hier ?

von

1 Antwort

+1 Punkt

assoziativ zeigst du so:

Prüfe, ob für je 3 Teilmengen  A,B,C von X gilt

(A°B)°C = A°(B°C)

Darauf wendest du einfach die Definition an :

(A\B) u (B\A) ) ° C  = A ° ( ( B\C) u ( C\B) )

und nochmal

((A\B) u (B\A) ) \ C )  u ( C \ ((A\B) u (B\A) ) = ( A \  ( ( B\C) u ( C\B) ) u (  ( ( B\C) u ( C\B) ) \ A )

und das jetzt nach den gängigen Gesetzen über die Mengenoperationen aufdröseln:

(A\B)\C u (B\A)\C  u ( C \ ((A\B) u (B\A) )  =    ( A \  ( ( B\C) u ( C\B) ) u (B\C)\A u (C\B)\A)

Nun gilt aber offenbar  (B\A)\C  = (B\C)\A     #

Also bleibt zu zeigen

(A\B)\C   u ( C \ ((A\B) u (B\A) )  =    ( A \  ( ( B\C) u ( C\B) ) u (C\B)\A)

Da wendet man erst mal de Morgan an:

(A\B)\C   u  ( C \ (A\B) ) ∩ ( C \ (B\A) )  =    ( A \ ( B\C)  ∩ ( A \ ( C\B) ) u (C\B)\A) )

Jetzt analog zu # und Schnittmenge mit sich selbst, ist die Menge selbst:

(A\B)\C   u  ( C \ (A\B) )  =   ( A \ ( C\B) ) u (C\B)\A) )

und analog zu # sieht man: Beides gleich.

Eine weitere Eigenschaft für eine Gruppe hast du noch vergessen, ist

hier aber klar:   Für jedes Paar A,B aus der Gruppe ist A°B auch wieder

aus ihr.

Neutral ist die leere Menge und das Inverse zu A ist  X\A.

von 169 k

Neutral ist die leere Menge und das Inverse zu A ist  X\A.

Bitte die Quelle dieses Satzes auf Glaubwürdigkeit überprüfen.

A ° ∅ = ( A \ ∅ ) ∪ ( ∅ \ A)   = A  ∪  ∅   = A

Das klappt schon mal, und

∅ ° A = A wohl auch.

Bleibt das Inverse zu prüfen:   Fehler ! s. Kommentare !

A ° (X\A)  =   ( A \  (X\A)  ) ∪ (  (X\A)  \ A)

                =          ∅           ∪           ∅   =     ∅

Hab ich was übersehen, oder wie war der Kommentar gemeint ?

Hab ich was übersehen ?

Offenbar ja (und zwar sogar ganz X), wenn du es nicht mit Absicht machst, um mir eine sinnlose Diskussion aufzuzwingen.

Aha, jetzt verstehe ich.  Tut mir Leid, aber ich gehöre zu

den Menschen, denen auch schon mal Fehler passieren.

Dann ist das Inverse von A wohl wieder A selbst.

A°A = A\A u A\A = ∅

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