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Für x,y∈[0,1) definieren wir

x+y:={x+y}={x+y falls x+y<1
{x+y−1 falls x+y≥1

Zeigen sie, dass [0,1) mit der Operation eine Gruppe ist.

Ich weiß zwar was die Axiome sind einer Gruppe, aber wie kann ich das in diesem beispiel genau zeigen.

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Für x,y∈[0,1) definieren wir
x+y:={x+y}={x+y      falls x+y<1
                    {x+y−1 falls x+y≥1

Erst mal Abgeschlossenheit:

Seien also  x,y∈[0,1)  , also  0≤x<1 und   0≤y<1

Da dann 0≤x+y gilt, ist für  x+y<1  also x+y ∈[0,1) erfüllt.

Im Fall x+y≥1   gilt   aber x+y<2 und damit  1≤x+y<2 also

0≤x+y<1   und damit Abgeschlossenheit erfüllt.

assoziativ: Da musst du zeigen: Es gilt immer

{({a+b})+c} = {a+({b+c})}.

Da muss man wohl die verschiedenen Fälle durchgehen:

1. Fall  a+b +c < 1

      Dann ist ja auf beiden Seiten von # das Ergebnis a+b+c,

also alles klar.

2. Fall a+b<1  aber  a+b+c ≥ 1

Dann gilt {({a+b})+c} =

                { (a+b) + c } =

                 (a+b) + c   - 1

und rechts steht:  {a+({b+c})}.

           1. Unterfall  b+c < 1 dann gilt

                       {a+({b+c})} =   {a+(b+c)}

  Da aber ja a+b+c ≥ 1 ist das  =   (a+b) + c   - 1

         2. Unterfall b+c ≥ 1  dann gilt

                      {a+({b+c})} =   {a+(b+c-1)}

                      und da dann a+(b+c-1) < 1 ist, ist

                             das Ergebnis  a+(b+c-1).

………….…… so musst du alle möglichen Fälle durchexerzieren.

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