Differentialgleichung xy' + y = x

Question

ich habe folgende Differentialgleichung:

Umgestellt nach y':

Also somit haben wir eine inhomogene Gleichung

f(x) = - 1 / x ; g(x) = 1

Lösung der Homogenen Gleichung:

Nun Lösen wir die inhomogene Gleichung:

Hier muss irgendwo mein Fehler sein, die Lösung sagt nämlich folgendes:

Ich dachte e^{ln|x|} hebt sich auf und somit würde nur noch 1 da stehen und die 1 müsste ich nur noch integrieren zu x. Es wäre nett wenn mir jemand sagen könnten, wo mein Fehler genau liegt.

Euer Max :)

Comments

Wie schon mal erwähnt, bitte Latex als Latex posten, nicht als Bilder. Danke.

Answer 1

Guten Morgen Herr Fischer,

Du hast schon zielsicher Deinen Finger auf den Fehler gesetzt ;).

Die e-Funktion und der Logarithmus heben sich gegenseitig auf - richtig. Und damit verbleibt der Numerus, also x.

Dann ergibt sich nicht (x+C), sondern (x^2/2 + C) und das stimmt mit der Musterlösung überein ;).


Grüße